Rotore (matematica): differenze tra le versioni

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Una prima conisiderazione fisica di applicabilità
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== Definizione ==
Sotto l'ipotesi che un campo vettoriale <math>\mathbf F</math> sia [[Classe C di una funzione|di classe]] <math>C^1</math><ref> Da un punto di vista fisico, la derivabilità del campo vettoriale implica che l'operatore rotore viene usato nella fisica non-quantistica, ossia in fisica classica (relatività compresa)</ref>, il rotore <math>\nabla \times \mathbf F</math> di <math>\mathbf F</math> è definito in ogni punto attraverso la sua [[Proiezione (geometria)|proiezione]] su un [[versore]] <math>\mathbf{\hat{n}}</math> di <math>\R^3</math> posto nel punto: si tratta del valore dell'[[integrale di linea]] <math>\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}</math> del campo in un piano ortogonale a <math>\mathbf{\hat{n}}</math> nel limite in cui la curva <math>C</math> di integrazione si riduca a un punto, cioè nel limite in cui l'area <math>A</math> delimitata da <math>C</math> tenda ad annullarsi, diviso per l'area <math>|A|</math>:
 
:<math>(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{\hat{n}} \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lim_{A \to 0}\left( \frac{1}{|A|}\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\right).</math>
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:<math>\nabla \times \mathbf E = - \frac {\partial \mathbf B} {\partial t}.</math>
 
In condizioni stazionarie, cioè se i campi non variano nel tempo, si ottiene l'irrotazionalità del campo elettrico, ossia la sua [[campo vettoriale conservativo|conservatività]] del campo elettrico:
 
:<math>\nabla \times \mathbf E = 0.</math>