Meccanica hamiltoniana: differenze tra le versioni

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In [[fisica]] e [[matematica]], in particolare nella [[meccanica razionale]] e nell'[[analisi dei sistemi dinamici]], la '''meccanica hamiltoniana''' è una riformulazione della [[meccanica classica]] introdotta nel [[1833]] da [[William Rowan Hamilton]] a partire dalla [[meccanica lagrangiana]], descritta inizialmente da [[Joseph-Louis Lagrange]] nel [[1788]].

La dinamica di un sistema fisico è caratterizzata dal fatto che il moto di un corpo tende a rendere stazionaria (a [[calcolo delle variazioni|variazione]] nulla) una quantità astratta detta [[azione (fisica)|azione]], un [[funzionale]] definito come l'[[integrale]] nel tempo della [[lagrangiana]]. Solitamente questo corrispondeequivale a minimizzare l'[[energia]] del [[sistema dinamico]] considerato, che è la somma dell'[[energia potenziale]] più l'[[energia cinetica]].

La meccanica hamiltoniana, faoperando corrispondereuna all'energiadifferente unascelta di coordinate per generare lo [[funzionespazio scalaredelle fasi]] detta '''hamiltoniana''', eriscrive le equazioni del moto di [[equazioni di Eulero-Lagrange|Eulero-Lagrange]], che erano alla base della descrizione di Lagrange, vengononella oraforma riscritte nellodi [[spazioequazioni delledi fasiHamilton]] (graziee cioèfa adcorrispondere unaall'energia diversatotale sceltadel dellesistema coordinate) nella forma diuna [[equazionifunzione di Hamiltonscalare]] perdetta l'''hamiltoniana'''. Le trasformazioni che lasciano inalterata la forma delle equazioni di Hamilton sono inoltre dette [[trasformazione canonica|trasformazioni canoniche]], e sono alla base della descrizione di molti fenomeni naturali; è una tecnica utilizzata ad esempio dalla [[teoria delle perturbazioni]].

La meccanica hamiltoniana introduce un formalismo che sta alla base della [[meccanica quantistica]] e della [[meccanica statistica]], consentendo di formulare in maniera agevole la compatibilità tra probabilità e dinamica (si veda il [[Teorema di Liouville (meccanica Hamiltoniana)|teorema di Liouville]]).

==Dalla meccanica lagrangiana alla meccanica hamiltoniana==

Nella descrizione [[meccanica lagrangiana|lagrangiana]], le coordinate del [[sistema dinamico]] nello spazio degli stati usate per identificare un punto materiale in moto viene identificatosono dallele sue [[coordinate generalizzate]] <math>\mathbf q = (q_1 , \dots ,q_n) \in \R^n </math> e nellele corrispondenti [[velocità generalizzata|velocità generalizzate]] <math>\mathbf \dot q = ( \dot q_1 , \dots , \dot q_n ) </math>, dove il punto denota la [[derivata totale]] temporale. SiPertanto tratta delle coordinate nello "spazio degliil stati" del [[sistema dinamico]] costituito dal punto in moto viene descritto dalla funzione:

:<math>\mathbf \ddot q = \mathbf f(\mathbf q, \mathbf \dot{q}, t) </math>

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In [[Sistema di riferimento cartesiano|coordinate cartesiane]], se il moto è senza [[Vincolo|vincoli]] tale scrittura coincide con l'[[Principi della dinamica|equazione di Newton]]:

:<math>m \mathbf \ddot xF = m \mathbf F\ddot x </math>

con <math>\mathbf q =\equiv \mathbf x</math> e <math>\mathbf f = \mathbf F / m </math>, dove <math>\mathbf F</math> la [[forza]] e <math>m</math> la massa del punto.

L'[[equazione del moto]] nello spazio degli stati sono le [[equazioni di Eulero-Lagrange]]:

:<math>

\frac{\operatornamemathrm d}{\operatornamemathrm dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot \mathbf q}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf q}=0

</math>

dove <math>\mathcal{L}(\mathbf q, \mathbf \dot{q}, t) = T(\mathbf q, \mathbf \dot{q}, t)-VU(\mathbf q, t)</math> è la [[lagrangiana]], differenza tra l'[[energia cinetica]] <math>T</math> e [[energia potenziale]] <math>VU</math>.

L'approccio seguito dalla meccanica hamiltoniana siper basala sull'utilizzocostruzione didello spazio delle fasi utilizza un diverso sistema di coordinate, dette ''coordinate canoniche'', innel cuiquale alle coordinate generalizzate <math>\mathbf q</math> ([[spazio delle configurazioni]]) vengono affiancate, anziché le velocità generalizzate <math>\mathbf \dot q</math>, i momenti coniugati <math>\mathbf p</math>. Il momento coniugato alla coordinata <math>q_i</math> di un corpo in moto è la [[derivata parziale]]:

:<math>p_j = \frac{\partial \mathcal{L} (\mathbf q, \mathbf \dot q,t) \over }{\partial \dot{q}_j} </math>

ovvero:

:<math>\mathbf p = \frac{\partial \mathcal{L} (\mathbf q, \mathbf \dot q,t) \over }{\partial \dot{\mathbf q}}</math>

Lo spazio delle coppie <math>(\mathbf q,\mathbf p)</math> è lo [[spazio delle fasi]]. In coordinate cartesiane la definizione di momento coniugato, che è valida per un più generico [[sistema di coordinate]], è equivalente (per un punto materiale di massa <math>m</math>) alla [[quantità di moto]]:

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Nelle nuove coordinate <math>(\mathbf q,\mathbf p)</math> le equazioni di Eulero-Lagrange assumono la forma compatta:

:<math>\dot p_j = \frac{\partial \mathcal{L} (\mathbf q, \mathbf \dot q,t) \over }{\partial q_j}</math>

ovvero:

:<math>\mathbf \dot p = \frac{\partial \mathcal{L} (\mathbf q, \mathbf \dot q,t) \over }{\partial \mathbf q}</math>

==Hamiltoniana ed equazioni di Hamilton==

La [[trasformata di Legendre]] della lagrangiana, nelle coordinate canoniche <math>(\mathbf q,\mathbf p)</math>, è l'hamiltoniana:

:<math>\mathcal{H} (\mathbf{q},\mathbf p,t) = [ \mathbf{p} \cdot \dot \mathbf q - \mathcal{L} (\mathbf{q},\dot \mathbf q,t) ]_{\dot \mathbf q = \dot \mathbf q( \mathbf q,\mathbf{p},t)} </math>

con <math>\dot \mathbf q = \dot \mathbf q( \mathbf q,\mathbf{p},t) </math>. Nel caso particolarmente importante di sistema dinamico con [[Vincolo|vincoli]] indipendenti dal tempo, l'hamiltoniana coincide con l'energia totale del sistema, ed è pertanto la somma tra l'energia cinetica e potenziale:

:<math>\mathcal{H} = T +V U </math>

con l'energia cinetica espressa in generale da: