Flusso: differenze tra le versioni

Versione delle 03:00, 13 lug 2019

Versione delle 17:22, 5 ago 2019

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Sia <math>D\subset\mathbb{R}^2</math> un [[Dominio e codominio#Topologia|dominio connesso]], <math>(x_0, y_0)\in D</math>, <math>\phi\colon D\to\mathbb{R}^3</math> una [[Superficie parametrica|superficie regolare]] di [[Derivabilità|classe]] <math>\mathcal{C}^1</math> parametrizzata in <math>\mathbb{R}^3</math>, <math>\Sigma = \operatorname{Im}\phi</math>, <math>\mathbf{F}\colon\Sigma^{^{\!\!\!^\circ}}\to \mathbb{R}^3</math> campo vettoriale continuo e limitato, <math>\hat{\mathbf n}\colon\Sigma^{^{\!\!\!^\circ}}\to\mathbb{R}^3</math> campo vettoriale di giacitura tale che <math>\hat{\mathbf n}(x_0, y_0)=\nu(x_0, y_0)</math>, dove <math>\nu(x,y)</math> è la [[Superficie parametrica#Piano tangente|normale unitaria canonica]] della superficie. È detto '''flusso''' di <math>\mathbf F</math> attraverso <math>\Sigma</math> la funzione scalare data dall'[[integrale di superficie]]

:<math>\Phi_\Sigma(\mathbf F) = \int_\Sigma \langle \mathbf F, \hat{\mathbf n}\rangle \operatorname{dS} = \int_\Sigma \mathbf F \cdot \operatornamemathrm d \mathbf S</math>,

Esplicitando il [[prodotto scalare]], appare chiaro che il flusso elementare <math>\operatorname d F</math>è nullo se in quel punto il campo e la superficie elementare sono [[perpendicolari]]; è massimo o minimo se sono rispettivamente paralleli o antiparalleli.

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* densità di flusso di quantità di materia: <math>[mol \cdot s^{-1} \cdot m^{-2}]</math>

Il concetto di densità di flusso molare viene utilizzato, ad esempio, dalle [[Leggi di Fick]] sulla [[diffusione di materia]].

=== Fluenza ===

Si definisce '''fluenza''' il campo vettoriale dato dall'integrale del campo su un periodointervallo di tempo:

:<math>\vec \Phi_t=\int_t \mathbf F \operatorname, d\mathrm tdt</math>,

== Applicazioni ==

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=== Trasporto di quantità di moto ===

Il significato concreto del flusso diventa evidente quando si considerano fluidi [[Corpo continuo|continui]]. Prendiamo una superficie infinitesima <math>d\mathrm SdS</math> nello spazio: intendiamo calcolare il volume <math>\mathrm dV</math> di [[fluido]] che transita attraverso quella superficie nella direzione <math>\hat{\mathbf n}</math>, nel tempo <math>\mathrm dt</math>. Dato che in prossimità della superficie la sostanza si muove a velocità <math>\mathbf v</math>, <math>dV</math> è dato semplicemente dal volume del solido che ha <math>\operatornamemathrm d \mathbf S</math> come base e <math>\mathbf v\, \mathrm dt</math> come altezza, cioè

:<math>\operatornamemathrm dV = \operatornamemathrm d \mathbf S \cdot \mathbf v\, \mbox{d}tmathrm dt</math>

esso è positivo se la sostanza fluisce lungo una direzione concorde con <math>\hat{\mathbf n}</math>, negativo altrimenti. Il caso limite è quello in cui il fluido scorre parallelamente alla superficie e il volume che transita attraverso <math>d\mathrm SdS</math> è nullo, come è logico aspettarsi.

In idrodinamica il flusso della velocità del fluido prende il nome di [[Portata|portata volumetrica]], che rappresenta in pratica il volume del fluido che transita attraverso la sezione nell'unità di tempo, inoltre la corrispondente densità di flusso volumetrico coincide con la velocità stessa.

Il volume di fluido che attraversa la sezione nel tempo <math>\mathrm dt</math>, si ottiene sommando i singoli contributi, cioè calcolando il flusso della velocità su quella superficie:

:<math>\dot V = \int_S \mathbf v \cdot \operatorname d \mathbf S</math>

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=== Astronomia ===

Il concetto lega la [[luminosità (fisica)|luminosità]] assoluta ''<math>P'' </math> alla [[luminosità apparente]] ''<math>I </math>. La luminosità apparente è definita come la quantità di energia ricevuta da una [[stella]], al di sopra dell'[[atmosfera]] [[Terra|terrestre]], in un secondo ed entro un'area unitaria. Ne consegue che questa è semplicemente il campo fluente rispetto alla luminosità assoluta della stella:

La luminosità apparente è definita come la quantità di energia ricevuta da una [[stella]], al di sopra dell'[[atmosfera]] [[Terra|terrestre]], in un secondo ed entro un'area unitaria. Ne consegue che questa è semplicemente il campo fluente rispetto alla luminosità assoluta della stella:

:<math>P = \oint_{4 \pi r^2} I \, \operatornamemathrm dS = 4 \pi r^2 I </math>

[[File:flusso1.png|upright=1.3|thumb|Irradianza di [[fotoni]] da una sorgente stellare]]

la luminosità apparente misura quindi il tasso di scorrimento dell'energia attraverso la [[superficie]] di un oggetto. La luminosità assoluta in quanto [[potenza (fisica)|potenza]] '''non''' dipende dalla distanza della sorgente che irradia l'energia, mentre la luminosità apparente in quanto [[irradianza]] sì ed in modo inverso al quadrato, in quanto l'energia per raggiungerci si distribuisce entro una [[superficie sferica]] il cui raggio è la nostra distanza ''<math>d'' </math>, come illustrato in figura 1: se la distanza raddoppia noi riceviamo <math>\left( \frac {1}{2} \right)^2 = \frac {1}{4}</math> del flusso originario.

Per esempio recenti misure compiute in orbita (il Total Irradiance Monitor (TIM) montato a bordo di NASA Solar Radiation and Climate Experiment (SORCE)) hanno determinato la luminosità apparente del [[Sole]] circa alla [[unità astronomica|nostra distanza]] (detta anche Costante di Radiazione Solare) come<ref>G. Kopp and J. L. Lean, "A new, lower value of total solar irradiance: Evidence and climate significance" GEOPHYSICAL RESEARCH LETTERS, VOL. 38, 2011</ref>:

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:<math>I(149,6 Gm)= 1360,8 \pm 0,5\ \mathrm{W/m^2}</math>

quindi calcoleremmo la [[luminosità solare]] circa in [[Yotta]][[Watt]]:

:<math>P = 4 \, \pi \, d^2 I(d) = 4 \pi \left ( 1,496 \cdot 10^{11} \right )^2 1360,8 W = 382,6 \pm 0,1 YW</math>