Meccanica hamiltoniana: differenze tra le versioni

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La dinamica di un sistema fisico è caratterizzata dal fatto che il moto di un corpo tende a rendere stazionaria (a [[calcolo delle variazioni|variazione]] nulla) una quantità astratta detta [[azione (fisica)|azione]], un [[funzionale]] definito come l'[[integrale]] nel tempo della [[lagrangiana]]. Solitamente questo equivale a minimizzare l'[[energia]] del [[sistema dinamico]] considerato, che è la somma dell'[[energia potenziale]] più l'[[energia cinetica]].

La meccanica hamiltoniana, operando una differente scelta di coordinate per generare lo [[spazio delle fasi]], riscrive le equazioni del moto di [[equazioni di Eulero-Lagrange|Eulero-Lagrange]], che erano alla base della descrizione di Lagrange, nella forma di [[equazioni di Hamilton]] e fa corrispondere all'energia totale del sistema una [[funzione scalare]] detta '''hamiltonianaHamiltoniana'''. Le trasformazioni che lasciano inalterata la forma delle equazioni di Hamilton sono inoltre dette [[trasformazione canonica|trasformazioni canoniche]], e sono alla base della descrizione di molti fenomeni naturali; è una tecnica utilizzata ad esempio dalla [[teoria delle perturbazioni]].

La meccanica hamiltoniana introduce un formalismo che sta alla base della [[meccanica quantistica]] e della [[meccanica statistica]], consentendo di formulare in maniera agevole la compatibilità tra probabilità e dinamica (si veda il [[Teorema di Liouville (meccanica Hamiltoniana)|teorema di Liouville]]).

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</math>

dove <math>\mathcal{L}(\mathbf q, \mathbf \dot{q}, t) = T(\mathbf q, \mathbf \dot{q}, t)-U(\mathbf q, t)</math> è la [[lagrangianaLagrangiana]], la differenza tra l'[[energia cinetica]] <math>T</math> e [[energia potenziale]] <math>U</math>.

L'approccio seguito dalla meccanica hamiltoniana per la costruzione dello spazio delle fasi utilizza un diverso sistema di coordinate, dette ''coordinate canoniche'', nel quale alle coordinate generalizzate <math>\mathbf q</math> vengono affiancate, anziché le velocità generalizzate <math>\mathbf \dot q</math>, i momenti coniugati <math>\mathbf p</math>. Il momento coniugato alla coordinata <math>q_i</math> di un corpo in moto è la [[derivata parziale]]:

:<math>p_j = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_j} </math>

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==Hamiltoniana ed equazioni di Hamilton==

La [[trasformata di Legendre]] della lagrangianaLagrangiana, nelle coordinate canoniche <math>(\mathbf q,\mathbf p)</math>, è l'hamiltonianaHamiltoniana:

:<math>\mathcal{H} (\mathbf{q},\mathbf p,t) = \mathbf{p} \cdot \dot \mathbf q - \mathcal{L} (\mathbf{q},\dot \mathbf q,t) </math>

con <math>\dot \mathbf q = \dot \mathbf q( \mathbf q,\mathbf{p},t) </math>. Nel caso particolarmente importante di sistema dinamico con [[Vincolo|vincoli]] indipendenti dal tempo, l'hamiltonianaHamiltoniana coincide con l'energia totale del sistema, ed è pertanto la somma tra l'energia cinetica e potenziale:

:<math>\mathcal{H} = T + U </math>

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:<math> \dot \mathbf{p} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{q}} \qquad \dot \mathbf{q} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{p}} </math>

una riscrittura delle equazioni di Eulero-Lagrange. A partire da esse vengono quindi scritte le [[equazione del moto|equazioni del moto]] nel modello hamiltoniano. Le equazioni di Hamilton sono simmetriche rispetto a <math> \mathbf p </math> e <math> \mathbf q</math>, cioè (scambiare <math>\pm \mathbf q </math> con <math> \mp \mathbf p</math> le lascia invariate). Più in generale, vengono dette ''coordinate canoniche'' le variabili generalizzate le cui trasformazioni, dette [[Trasformazioni canoniche|''trasformazioni canoniche'']], lasciano inalterata la forma delle equazioni di Hamilton e sono alla base della descrizione di molti fenomeni naturali.

InLa [[meccanicateoria quantisticadelle perturbazioni]] laè funzioneuna teoria fisica fondata interamente sulla meccanica hamiltoniana, èmentre particolarmentein importante[[meccanica edquantistica]] èla funzione hamiltoniana, chiamata [[operatore hamiltoniano]], alè particolarmente importante e ad qualeessa si fa corrispondere l'energia [[osservabile]] energia (ad esempio l'energia di particelle subatomiche o sistemi di particelle).

==Sistema dinamico hamiltoniano==