Meccanica hamiltoniana: differenze tra le versioni

Versione delle 19:07, 19 ago 2019

Versione delle 19:12, 19 ago 2019

Riga 27:

dove <math>\mathcal{L}(\mathbf q, \mathbf \dot{q}, t) = T(\mathbf q, \mathbf \dot{q}, t)-U(\mathbf q, t)</math> è la [[Lagrangiana]], la differenza tra l'[[energia cinetica]] <math>T</math> e [[energia potenziale]] <math>U</math>.

L'approccio seguito dalla meccanica hamiltoniana per la costruzione dello spazio delle fasi utilizza un diverso sistema di coordinate, nel quale alle coordinate generalizzate <math>\mathbf q</math> vengono affiancate, anziché le velocità generalizzate <math>\mathbf \dot q</math>, i momenti lineari coniugati <math>\mathbf p</math>. Il momento lineare coniugato alla coordinata <math>q_i</math> di un corpo in moto è la [[derivata parziale]]:

:<math>p_j = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_j} </math>

Riga 35:

:<math>\mathbf p = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\mathbf q}}</math>

Lo spazio delle coppie <math>(\mathbf q,\mathbf p)</math> è lo [[spazio delle fasi]]. In coordinate cartesiane la definizione di momento lineare coniugato, che è valida per un più generico [[sistema di coordinate]], è equivalente (per un punto materiale di massa <math>m</math>) alla [[quantità di moto]]:

:<math>\mathbf p = m \mathbf \dot x</math>

Riga 76:

:<math>\mathbf \dot x = \mathbf v( \mathbf x) \qquad \mathbf x = (\mathbf q, \mathbf p) \in \R^{2n}</math>

con <math>\mathbf v</math> un [[campo vettoriale]] nello [[spazio delle fasi]], anche nel caso in cui le coordinate <math>\mathbf q</math> non sono ortogonali ma sono ad esempio polari o cilindriche. Al campo <math>\mathbf v</math> è associata l'hamiltonianaHamiltoniana <math>\mathcal H</math>, ovvero:

:<math> \mathbf v( \mathbf x) = E \, \nabla \mathcal H ( \mathbf x) </math>

Riga 90:

:<math>\nabla \mathcal H ( \mathbf x) = \left( \frac{\partial \mathcal H}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial \mathcal H}{\partial x_{2n}} \right) \equiv \left( \frac{\partial \mathcal H}{\partial q_1} \cdots \frac{\partial \mathcal H}{\partial p_n} \right)</math>

Il campo <math>\mathbf v </math> così definito è il [[campo vettoriale hamiltoniano]], ed è [[campo vettoriale solenoidale|solenoidale]] (<math>\nabla \cdot \mathbf v =0</math>). L'importanza della scelta delle coordinate hamiltoniane <math>(\mathbf q,\mathbf p)</math>, inveceal cheposto di quelle lagrangiane <math>(\mathbf q,\mathbf \dot q)</math>, è legata al fatto che - per come sono definite - le coordinate canoniche si comportano, in un certo senso, come coordinate cartesiane ortogonali. Difatti, per una arbitraria scelta delle <math>\mathbf q</math> (ad esempio, polari o cilindriche), utilizzando i momenti lineari coniugati <math>\mathbf p = \partial \mathcal{L} / \partial \mathbf \dot q</math> il sistema dinamico ha ancora la forma <math> \mathbf \dot x = E \, \nabla \mathcal H ( \mathbf x) </math>. Ciò consente alle [[equazioni di Hamilton]] di avere una struttura particolarmente simmetrica.

== Costanti del moto ==