Quadrivettore: differenze tra le versioni

Versione delle 09:28, 1 apr 2019

Versione delle 23:25, 13 dic 2019

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Volendo esprimere l'ugualianza in termini matriciali, possiamo considerare <math>A_\mu</math> e <math>A^\mu</math> le componenti di due vettori colonna e <math>g_{\mu \nu}</math> le componenti di una matrice 4 <math>\times</math> 4 che rappresenta un'applicazione lineare:

:<math>\left( \begin{matrixpmatrix} A_0 \\ A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{matrixpmatrix} \right) =

\left( \begin{matrixpmatrix}

g_{00} & g_{01} & g_{02} & g_{03} \\

g_{10} & g_{11} & g_{12} & g_{13} \\

g_{20} & g_{21} & g_{22} & g_{23} \\

g_{30} & g_{31} & g_{32} & g_{33} \\

\end{matrixpmatrix} \right) \left( \begin{matrixpmatrix} A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{matrixpmatrix} \right)</math>

La particolare forma (diagonale) del tensore metrico in [[relatività ristretta]] fornisce una facile regola per esprimere le componenti controvarianti di un quadrivettore in funzione di quelle covarianti, ovvero:

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oppure, in forma matriciale:

:<math>\left( \begin{matrixpmatrix} A_0 \\ A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{matrixpmatrix} \right) =

\left( \begin{matrixpmatrix}

-1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1 \\

\end{matrixpmatrix} \right) \left( \begin{matrixpmatrix} A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{matrixpmatrix} \right)=

\left( \begin{matrixpmatrix} -A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{matrixpmatrix} \right)

</math>

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\mathbf{U \cdot V}

= g_{\mu \nu} U^{\mu} V^{\nu}

= \left( \begin{matrixpmatrix}U^0 & U^1 & U^2 & U^3 \end{matrixpmatrix} \right)

\left( \begin{matrixpmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrixpmatrix} \right)

\left( \begin{matrixpmatrix}V^0 \\ V^1 \\ V^2 \\ V^3 \end{matrixpmatrix} \right)

= U^0 V^0 - U^1 V^1 - U^2 V^2 - U^3 V^3

</math>