Variabile casuale: differenze tra le versioni

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considerate [[processo stocastico|processi stocastici]].

== Distribuzione di probabilità ==

== Distribuzioni delle variabili casuali==

{{vedi anche|Distribuzione (statistica)|Misura di probabilità}}

La [[misura di probabilità]] indotta sullo [[spazio misurabile]] di arrivo <math>(E,\mathcal{E})</math> da una variabile aleatoria <math>X</math>, a partire dalla misura di probabilità <math>\nu</math> su <math>(\Omega,\mathcal{F})</math>, è semplicementedetta unala '''[[distribuzione (matematica)|distribuzione]]''', ino unalegge, variabile'''di (probabilità''', di <math>X).</math>, è indicata con <math>P_X</math> ed è definita nel seguente modo

Viene indicata con <math>P_X</math> ed è definita come:

:<math> P_X(A) := \nu (X^{-1}(A)), </math>

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Descrivere in termini probabilistici un fenomeno aleatorio nel tempo, cioè un fenomeno che sia caratterizzabile da una variabile aleatoria, vuol dire descriverlo in termini di distribuzione di probabilità e dei suoi parametri, come il [[valore atteso]] e la [[varianza]].

== DistribuzioniAlcune usatevariabili casuali utilizzate in statistica ==

Le '''distribuzioni''' (secondo la terminologia matematica corrente; '''variabili casuali''' secondo in una terminologia obsoleta limitata ad alcuni campi della sola branca statistica) si dividono principalmente in due grandi classi, '''[[distribuzionevariabile casuale discreta|discrete]]''' e '''[[distribuzionevariabile casuale continua|continue]]''' (o '''assolutamente continue'''):

Esempi del primo tipo:

* [[distribuzionevariabile uniformecasuale discreta|uniforme discreta]]

* [[distribuzionevariabile casuale bernoulliana|bernoulliana]], caso particolare della Binomiale

* [[variabile casuale binomiale]]

* [[distribuzionevariabile casuale poissoniana|poissoniana]] detta pure [[legge degli eventi rari]]

* [[variabile casuale geometrica]], caso particolare della [[distribuzione di Pascal]]

* [[variabile casuale ipergeometrica]]

* [[variabile casuale degenere]]

Esempi del secondo tipo:

Distribuzioni discrete:

* [[distribuzionevariabile casuale normale|normale]] o gaussiana

* [[distribuzione uniforme discreta|uniforme discreta]]

* [[distribuzionevariabile casuale Gamma|Gamma]] o Erlanghiana

* [[distribuzione bernoulliana|bernoulliana]], caso particolare della Binomiale

* [[distribuzionevariabile tcasuale dit Student|di Student]]

* [[distribuzione binomiale|binomiale]]

* [[Distribuzione di Fisher-Snedecor|variabile casuale di FischerFisher-Snedecor]]

* [[distribuzione poissoniana|poissoniana]] detta pure [[legge degli eventi rari]]

* [[distribuzionevariabile geometrica|geometricacasuale esponenziale negativa]], caso particolare della [[distribuzione di Pascal]]v.c. Gamma

* [[distribuzionevariabile casuale Chi Quadrato|Chi al quadrato]] χ², caso particolare della v.c. Gamma

* [[distribuzione ipergeometrica|ipergeometrica]]

* [[variabile casuale Beta]]

* [[distribuzione degenere|degenere]]

* [[distribuzionevariabile casuale rettangolare|rettangolare]] o uniforme continua

* [[variabile casuale di Cauchy]]

QuesteTali classi non sono però tutteesaustive ledella distribuzionifamiglia esistentidelle variabili casuali; esiste anche una terza classe, delle [[distribuzionevariabile casuale singolare|distribuzionivariabili casuali singolari]] o ''continue singolari'', come la [[distribuzionevariabile di Cantor|distribuzionecasuale di Cantor]].

Distribuzioni continue:

* [[distribuzione normale|normale]] o gaussiana

* [[distribuzione Gamma|Gamma]] o Erlanghiana

* [[distribuzione t di Student|di Student]]

* [[Distribuzione di Fisher-Snedecor|di Fischer-Snedecor]]

* [[distribuzione esponenziale negativa|esponenziale negativa]], caso particolare della v.c. Gamma

* [[distribuzione Chi Quadrato|Chi al quadrato]] χ², caso particolare della v.c. Gamma

* [[distribuzione Beta|beta]]

* [[distribuzione rettangolare|rettangolare]] o uniforme continua

* [[distribuzione di Cauchy|di Cauchy]]

Il teorema di rappresentazione di [[Henri Lebesgue|Lebesgue]] ci assicura che ogni funzione di ripartizione (e dunque ogni distribuzionevariabile casuale) è rappresentabile come [[combinazione convessa]] di una funzione di ripartizione discreta, una continua e una singolare. Variabili casuali che non appartengono a nessuna delle tre classi vengono dette ''[[mistura di distribuzioni|miste]]''.

Queste non sono però tutte le distribuzioni esistenti; esiste anche una terza classe, delle [[distribuzione singolare|distribuzioni singolari]] o ''continue singolari'', come la [[distribuzione di Cantor|distribuzione di Cantor]].

Si può comunque dimostrare che le classi delle variabili casuali discrete e delle variabili casuali continue sono dense nella classe di tutte le variabili casuali rispetto alla [[convergenza in distribuzione]], cioè per ogni distribuzionevariabile casuale esiste una successione di v.c. discrete (rispettivamente continue) che converge in distribuzione alla variabile data.

Il teorema di rappresentazione di [[Henri Lebesgue|Lebesgue]] ci assicura che ogni funzione di ripartizione (e dunque ogni distribuzione) è rappresentabile come [[combinazione convessa]] di una funzione di ripartizione discreta, una continua e una singolare. Variabili casuali che non appartengono a nessuna delle tre classi vengono dette ''[[mistura di distribuzioni|miste]]''.

Si può comunque dimostrare che le classi delle variabili casuali discrete e delle variabili casuali continue sono dense nella classe di tutte le variabili casuali rispetto alla [[convergenza in distribuzione]], cioè per ogni distribuzione esiste una successione di v.c. discrete (rispettivamente continue) che converge in distribuzione alla variabile data.

== Note ==