Distribuzione t di Student: differenze tra le versioni

Versione delle 12:14, 21 gen 2020

Versione delle 20:40, 21 gen 2020

Riga 1:

{{Variabile casuale

| nome = distribuzione <math>t</math> di Student

| tipo = distribuzionedensità di probabilità

| pdf_image = [[File:student_t_pdf.svg|325px|DensitàFunzione di densità di probabilità]]

| cdf_image = [[File:student_t_cdf.svg|325px|RipartizioneFunzione di ripartizione]]

| parametri = <math>n>0\ </math> (''gradi di libertà'')

| supporto = <math>\mathbb{R}</math>

Riga 58:

== Definizione ==

La distribuzione di Student con parametro <math>n</math> (''gradi di libertà'') governa la variabile aleatoria

:<math>x_nt_n=\frac{Z}{\sqrt{k/n}}</math>

dove <math>Z</math> e <math>k</math> sono due variabili aleatorie [[variabili indipendenti|indipendenti]] che seguono rispettivamente la [[distribuzione normale]] standard <math>\mathcal{N}(0,1)</math> e la [[distribuzione chi quadrato|distribuzione chi quadro]] <math>\chi^2(n)</math> con <math>n</math> gradi di libertà.

Riga 106:

:<math>\frac{(N-1)S^2}{\sigma^2} = \sum_i^N \left(\frac{X_i - \mu}{\sigma}\right)^2 - N \left(\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma}\right)^2 = \sum_i^N \left(\frac{X_i - \mu}{\sigma}\right)^2 - \left(\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{N}}\right)^2.</math>

Abbiamo quindi ottenuto a sinistra una variabile che precedentemente avevamo indicato con <math>k</math>, mentre a destra abbiamo somme di variabili normali standard al quadrato, coincidenti con una variabile chi quadro con <math>N</math> gradi di libertà e un'altra variabile normale anch'essa standard elevata al quadrato, ovvero una variabile chi-quadro ad un solo grado di libertà. Sapendo che somme di variabili di tipo chi-quadro con <math>n</math> e <math>m</math> gradi di libertà corrispondono ancora ad una variabile chi-quadro con <math>n+m</math> gradi di libertà otteniamo che la funzione di densità delladi probabilità distribuzionedi <math>k</math> è unadi [[distribuzionetipo chi-quadro]] con <math>N-1</math> gradi di libertà.

Pertanto ora iniziamo a dire che

Riga 161:

La distribuzione di Student con <math>n</math> gradi di libertà è [[simmetria (matematica)|simmetrica]], perché lo è la distribuzione normale standard mentre la distribuzione chi quadrato che funge da "parametro casuale di scala" non produce effetti di distorsione di tale simmetria.

La sua [[funzione di densità di probabilità|densità]] è

:<math>f(t) = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-(n+1)/2} = \frac{1}{\sqrt{n}\,\Beta\left(\frac{1}{2},\frac{n}{2}\right)} \left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-(n+1)/2}</math>,

dove <math>\Beta</math> la [[Funzione beta di Eulero|funzione beta]].

La sua [[funzione di ripartizione|ripartizione]] è

:<math>F(t)=I_x\left(\frac{n}{2},\frac{n}{2}\right)</math>

dove <math>I_x(a,b)=\frac{\Beta(x,a,b)}{\Beta(a,b)}</math> è la [[funzione beta di Eulero#Funzione beta incompleta|funzione beta incompleta regolarizzata]] con

:<math>x=\frac{t+\sqrt{t^2+n}}{2\sqrt{t^2+n}}</math>

Per <math>k<n</math> i [[momento (statistica)|momenti]] (semplici o centrali, in quanto coincidono per una [[Funzione di densità di probabilità|densitàpdf]] simmetrica) di ordine <math>k</math> della distribuzione sono

:<math>\mu_k=0</math> se <math>k</math> è dispari,

:<math>\mu_k=\frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})\Gamma(\frac{n-k}{2})n^{k/2}}{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}</math> se <math>k</math> è pari.