Meccanica hamiltoniana: differenze tra le versioni

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La meccanica hamiltoniana introduce un formalismo che sta alla base della [[meccanica statistica]] e della [[meccanica quantistica]], consentendo di formulare in maniera agevole la compatibilità tra probabilità e dinamica. Un altro esempio di una teoria fisica fondata sulla meccanica hamiltoniana è la [[teoria delle perturbazioni]].

==Dalla meccanicadescrizione lagrangiana alla meccanicadescrizione hamiltoniana==

Nella [[meccanica lagrangiana|descrizione lagrangiana]], le coordinate del [[sistema dinamico]] nello spazio degli stati, usate per identificare un punto materiale in moto, sono le sue [[coordinate generalizzate]] <math>\mathbf q = (q_1 , \dots ,q_n) \in \R^n </math> e le corrispondenti [[velocità generalizzata|velocità generalizzate]] <math>\mathbf \dot q = ( \dot q_1 , \dots , \dot q_n ) </math>, dove il punto denota la [[derivata totale]] temporale. Pertanto il sistema dinamico costituito dal punto in moto viene descritto dalla funzione:

Nella [[meccanica lagrangiana|descrizione lagrangianaclassica]], le coordinate del [[sistema dinamico]] nello spazio degli stati, usate per identificare un punto materiale in moto, sono le sue [[coordinate generalizzate]] <math>\mathbf qx = (q_1x_1 , \dots ,q_nx_n) \in \R^n </math> e le corrispondenti [[velocità generalizzata|velocità generalizzate]] <math>\mathbf \dot qx = ( \dot q_1x_1 , \dots , \dot q_nx_n ) </math>, dove il punto denota la [[derivata totale]] temporale. Pertanto il sistema dinamico costituito dal punto in moto viene descritto dalla funzione:

:<math>\mathbf \ddot q = \mathbf f(\mathbf q, \mathbf \dot{q}, t) </math>

:<math>\mathbf \ddot qx = \mathbf f(\mathbf qx, \mathbf \dot{qx}, t) </math>

In [[Sistema di riferimento cartesiano|coordinate cartesiane]], se il moto è senza [[Vincolo|vincoli]] tale scrittura coincide con l'[[Principi della dinamica|equazione di Newton]]:

Line 17 ⟶ 18:

:<math>\mathbf F = m \mathbf \ddot x </math>

L'[[equazione del moto]] nellosi spaziopossono degliesprimere stati sono lecome [[equazioni variazionali di Eulero-Lagrange]]:

con <math>\mathbf q \equiv \mathbf x</math> e <math>\mathbf f = \mathbf F / m </math>, dove <math>\mathbf F</math> la [[forza]] e <math>m</math> la massa del punto.

L'[[equazione del moto]] nello spazio degli stati sono le [[equazioni di Eulero-Lagrange]]:

:<math>

\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot \mathbf qx}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf qx}=0

</math>

dove <math>\mathcal{L}(\mathbf q, \mathbf \dot{q}, t) = T(\mathbf q, \mathbf \dot{q}, t)-U(\mathbf q, t)</math> è la [[Lagrangianalagrangiana di Newton]], che è la differenza tra l'[[energia cinetica]] <math>T</math> e [[energia potenziale]] <math>U</math> del sistema.

Hamilton propose di riesprimere la equazione variazionale di Eulero, che è del secondo ordine, in due equazioni del primo ordine definendo i momenti lineari coniugati <math>\mathbf p</math> alle coordinate.

L'approccio seguito dalla meccanica hamiltoniana per la costruzione dello spazio delle fasi utilizza un diverso sistema di coordinate, nel quale alle coordinate generalizzate <math>\mathbf q</math> vengono affiancate, anziché le velocità generalizzate <math>\mathbf \dot q</math>, i momenti lineari coniugati <math>\mathbf p</math>. Il momento lineare coniugato alla coordinata <math>q_i</math> di un corpo in moto è la [[derivata parziale]]:

Il momento della coordinata <math>q_i</math> di un corpo in moto è la [[derivata parziale]] della lagrangiana rispetto all coordinata:

:<math>p_j = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_j} </math>

ovvero:

:<math>\mathbf p = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\mathbf q}}</math>

Lo spazio delle coppiebidimensionale coordinata-momento<math>(\mathbf q,\mathbf p)</math> è lochiamato [[spazio delle fasi]]. In coordinate cartesiane la definizione di momento lineare coniugato, che è valida per un più generico [[sistema di coordinate]], è equivalente alla [[quantità di moto]]:

In coordinate cartesiane la definizione di momento lineare coniugato, che è valida per un più generico [[sistema di coordinate]], è equivalente alla [[quantità di moto]]:

:<math>\mathbf p = m \mathbf \dot x</math>

Nelle nuove coordinate <math>(\mathbf q,\mathbf p)</math> le equazioni di Eulero-Lagrange assumono la forma compatta:

:<math>\dot p_j = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_j}</math>

ovvero:

:<math>\mathbf \dot p = \frac{\partialm \mathcal{L}}{\partialmathbf \mathbfdot q}x</math>.

==Hamiltoniana ed equazioni di Hamilton==