Distribuzione di Poisson: differenze tra le versioni

Versione delle 14:29, 3 feb 2020

Versione delle 14:33, 3 feb 2020

Riga 4:

| pdf_image = [[File:Poisson pmf.svg|300px|Distribuzione di probabilità]]

| cdf_image = [[File:Poisson cdf.svg|300px|Funzione di ripartizione]]

| parametri = <math>\lambdaa>0\ </math>

| supporto = <math>\mathbb{N}</math>

| pdf = <math>\frac{\lambdaa^n}{n!}e^{-\lambdaa}</math>

| cdf = <math>\frac{\Gamma(n+1, \lambdaa)}{n!}</math><br />

<small>(dove <math>\Gamma(x, y)</math> è la [[funzione gamma incompleta]])</small>

| media = <math>\lambdaa\ </math>

| mediana = circa <math>\left[\lambdaa+\frac{1}{3}-\frac{1}{50\lambda50a}\right]</math>

| moda = <math>[\lambdaa]\ </math><br />sia <math>\lambdaa</math> che <math>\lambdaa-1</math> se <math>\lambdaa\in\mathbb{N}</math>

| varianza = <math>\lambdaa</math>

| skewness = <math>\frac{1}{\sqrt{\lambdaa}}</math>

| curtosi = <math>\frac{1}{\lambdaa}</math>

| entropia =<math>\lambdaa-\lambdaa\log\lambda a+e^{-\lambdaa}\sum\frac{\lambdaa^n\log(n!)}{n!}</math>

| momgenfun = <math>e^{\lambdaa (e^t-1)}</math>

| funzcar = <math>e^{\lambdaa (e^{it}-1)}</math>

}}

In [[teoria delle probabilità]] la '''distribuzione di Poisson''' (o '''poissoniana''') è una [[distribuzione di probabilità]] [[distribuzione discreta|discreta]] che esprime le probabilità per il numero di eventi che si verificano successivamente ed indipendentemente in un dato intervallo di tempo, sapendo che ''[[valore atteso|mediamente]]'' se ne verifica un numero <math>\lambdaa</math>. Ad esempio, si utilizza una distribuzione di Poisson per misurare il numero di chiamate ricevute in un call-center in un determinato arco temporale, come una mattinata lavorativa.

Questa distribuzione è anche nota come '''legge degli eventi rari'''.

Riga 26:

== Definizione ==

La distribuzione di Poisson <math>\mathcal{P}_\lambda_a (n)</math> è una [[Distribuzione discreta|distribuzione di probabilità discreta]] data da

:<math>\mathcal{P}_\lambda_a(n)=\frac{\lambdaa^n}{n!}e^{-\lambdaa}</math> per ogni <math>n\in\mathbb{N}</math>,

dove <math>\lambdaa</math> è il numero medio di eventi per intervallo di tempo, mentre <math>n</math> è il numero di eventi per intervallo di tempo (lo stesso col quale si misura <math>\lambdaa</math>) di cui si vuole la probabilità.

Dallo [[sviluppo in serie]] dell'[[esponenziale]] <math>e^\lambdaa=\sum\frac{\lambdaa^n}{n!}</math> si trova <math>\mathcal{P}(\mathbb{N})=1</math>.

=== Convergenza ===

La distribuzione di Poisson può essere ottenuta come [[limite (matematica)|limite]] delle [[distribuzione binomiale|distribuzioni binomiali]] <math>\mathcal{B}(n,p)</math>, con <math>\lambdaa=np</math>, ovvero si ha una [[convergenza in distribuzione|convergenza in legge]] di <math>\mathcal{B}(n , \lambdaa/n)</math> a <math>\mathcal{P}(\lambdaa)</math>. Per questa convergenza la distribuzione di Poisson è anche nota come ''legge (di probabilità) degli eventi rari''.

In [[statistica]] si adotta l'approssimazione della distribuzione binomiale tramite la distribuzione di Poisson quando n>20 e p<1/20, o preferibilmente quando n>100 e np<10.

Riga 41:

Una [[variabile aleatoria]] ''Y'' di distribuzione di Poisson ha

* [[valore atteso]]

:<math>E[Y]=\sum n\frac{\lambdaa^n}{n!}e^{-\lambdaa}=\lambdaa e^{-\lambdaa}\sum\frac{\lambdaa^{n-1}}{(n-1)!}=\lambdaa</math>

* [[varianza]]

:<math>\text{Var}(Y)=E[Y^2]-E[Y]^2=\sum n^2\frac{\lambdaa^n}{n!}e^{-\lambdaa}-\lambdaa^2=\sum n(n-1)\frac{\lambdaa^n}{n!}e^{-\lambdaa} + \sum n\frac{\lambdaa^n}{n!}e^{-\lambdaa} -\lambdaa^2=\lambdaa^2+\lambdaa-\lambdaa^2=\lambdaa</math>

:(Riscriviamo <math>n^2</math> come <math>n(n-1)+n</math>)

* [[funzione generatrice dei momenti]]

:<math>g(t,Y)=E[e^{tY}]=e^{-\lambdaa}\sum\frac{\lambdaa^n e^{tn}}{n!}=e^{-\lambdaa}e^{\lambdaa e^t}=e^{\lambdaa(e^t-1)}</math>

* indici di antisimmetria (in inglese: [[skewness]]) e di [[curtosi]]

:<math>\gamma_1=\frac{1}{\sqrt{\lambdaa}}</math>, <math>\gamma_2=\frac{1}{\lambdaa}</math>

* [[entropia (teoria dell'informazione)|entropia]]

:<math>\lambdaa-\lambdaa\log\lambda a+e^{-\lambdaa}\sum\frac{\lambdaa^n\log(n!)}{n!}</math>

che ha un andamento <math>\frac{1+\log(2\pi)}{2}\ +\ \frac{1}{2}\log\lambda a\ -\ \frac{1}{12}\lambdaa^{-1}\ -\ \frac{1}{24} \lambdaa^{-2}\ -\ \frac{19}{360} \lambdaa^{-3}\ +\ O(\lambdaa^{-4})</math>

=== Proprietà ===

Se <math>Y_1</math> e <math>Y_2</math> sono due [[variabile aleatoria|variabili aleatorie]] [[variabili indipendenti|indipendenti]] con distribuzioni di Poisson di parametri <math>\lambda_1a_1</math> e <math>\lambda_2a_2</math> rispettivamente, allora

* la loro somma <math>Y=Y_1+Y_2</math> segue ancora una distribuzione di Poisson, di parametro <math>\lambdaa=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2</math>;

* la distribuzione di <math>Y_1</math> [[probabilità condizionata|condizionata]] da <math>Y = n</math> è la [[distribuzione binomiale]] di parametri <math>\lambda_1a_1/\lambdaa</math> e <math>n</math>.

Più in generale, la somma <math>Y=Y_1+...+Y_n</math> di ''n'' variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni di Poisson di parametri <math>\lambda_1a_1,...,\lambda_na_n</math> segue una distribuzione di Poisson di parametro <math>\lambdaa=\lambda_1a_1+...+\lambda_na_n</math>, mentre la distribuzione di <math>Y_1</math> [[probabilità condizionata|condizionata]] da <math>Y = n</math> è la [[distribuzione binomiale]] di parametri <math>\lambda_1a_1/\lambdaa</math> e <math>n</math>.

== Distribuzioni collegate ==

Se la distribuzione di Poisson di parametro <math>\lambdaa</math> descrive il numero di eventi in un intervallo di tempo, il tempo di attesa tra due eventi successivi è descritto dalla [[distribuzione esponenziale]] di parametro <math>\lambdaa</math>.

La [[distribuzione di Skellam]] è definita come la distribuzione della differenza tra due variabili aleatorie indipendenti aventi entrambe distribuzioni di Poisson.

La [[mistura di distribuzioni]] tra la distribuzione di Poisson e la [[distribuzione Gamma]] (che governa il parametro <math>\lambdaa</math>) è la [[distribuzione di Pascal]], che talvolta è anche detta ''Gamma-Poisson''.

La [[distribuzione di Panjer]], definita per ricorsione, generalizza la distribuzione di Poisson: <math>P(n)=\frac{\lambdaa}{n}P(n-1)</math>.

== Statistica ==

=== Approssimazioni ===

Per <math>\lambdaa>1000</math> una [[variabile aleatoria]] con distribuzione di Poisson <math>\mathcal{P}(\lambdaa)</math> viene solitamente approssimata con la [[distribuzione normale]] <math>\mathcal{N}(\lambdaa,\lambdaa)</math>; per parametri più piccoli (<math>\lambdaa>10</math>) sono invece necessarie delle [[correzione di continuità|correzioni di continuità]], legate ai diversi [[dominio (matematica)|domini]] delle due distribuzioni (una discreta, una continua).

La [[radice quadrata]] di una variabile aleatoria con distribuzione di Poisson è approssimata da una [[distribuzione normale]] meglio di quanto lo sia la variabile stessa.

Il parametro <math>\lambdaa</math> può essere [[stimatore|stimato]] come la media delle osservazioni effettuate. Questo stimatore è privo di [[bias (statistica)|bias]], ovvero ha come [[valore atteso]] <math>\lambdaa</math> stesso.

=== Inferenza bayesiana ===

Se il parametro <math>\lambdaa</math> di una distribuzione di Poisson è distribuito ''a priori'' secondo la [[distribuzione Gamma]], allora lo è anche ''a posteriori'' dell'osservazione <math>Y=y</math>.

=== Intervallo di confidenza per la media ===

Un criterio rapido per il calcolo approssimato dell'intervallo di confidenza della media campionaria è fornito in [[#Bibliografia|Guerriero (2012)]]. Dato un numero k di eventi (almeno 15-20 per un'approssimazione soddisfacente) registrati in un certo intervallo di tempo - o di lunghezza, volume etc. -, i limiti dell'intervallo di confidenza per il parametro λ sono dati da:

:<math> \lambda_a_{low}=(1-\frac{1.96}{\sqrt{k-1}}) {k}</math>

:<math> \lambda_a_{upp}=(1+\frac{1.96}{\sqrt{k-1}}) {k}</math>

== Storia ==