Valore atteso: differenze tra le versioni

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Versione delle 15:25, 3 feb 2020

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{{nota disambigua|il valor medio di un campione in [[statistica descrittiva]]|Media (statistica)}}

{{nota disambigua|il risultato di [[analisi matematica]]|Teorema di Lagrange}}

In [[teoria della probabilità]] il '''valore atteso''' (chiamato anche '''media''', '''speranza''' o '''speranza matematica''') di una [[variabiledistribuzione casuale(matematica)|distribuzione]] <math> Xf </math>, è un numero indicato con <math>\mathbb{E}[X]</math> (da ''expected value'' o ''expectation'' in inglese o dal francese ''espérance'') che formalizza l'idea euristica di ''valore medio'' di un fenomeno aleatorio.

Viene indicato in [[notazione]] con <math>\mathbb{E}[\mathcal P]</math> (da '''''E'''xpected value'' o '''''E'''xpectation'' in inglese, o dal francese ''espérance''), ed è preferibile associarlo al simbolo della ''distribuzione'' f: E[f], seguendo la notazione in uso per un [[funzionale]].

Per esempio, il valore atteso di una [[distribuzione di Poisson]] si indica con E[P], quello di una distribuzione di Maxwell con E[M].

In generale, il valore atteso di una [[variabile casuale discreta]] (che assuma cioè solo un numero [[insieme finito|finito]] o una infinità [[insieme numerabile|numerabile]] di valori) è dato dalla somma dei possibili valori di tale variabile, ciascuno moltiplicato per la probabilità di essere assunto (ossia di verificarsi), cioè è la [[media ponderata]] dei possibili risultati. Per una [[variabile casuale continua]] la questione è più delicata e si deve ricorrere alla [[misura (matematica)|teoria della misura]] e all'[[integrale di Lebesgue-Stieltjes]].

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Ad esempio, nel celebre gioco [[testa o croce]], se scegliamo "testa" e ipotizziamo un valore di 100 per la vittoria (testa) e di zero per la sconfitta (croce), il valore atteso del gioco è 50, ovvero la media delle vincite e perdite pesata in base alle probabilità (50% per entrambi i casi): <math>100 \cdot 0,5 + 0\cdot 0,5= 50</math>, cioè il valore di "testa" per la sua probabilità e il valore di "croce" per la sua probabilità.

== Definizione matematica ==

Sia <math>(\Omega,\mathfrak{F},\mathbb{P})</math> uno [[spazio di probabilità]], ed <math>X</math> una variabile aleatoria a [[Numero reale|valori reali]] su tale spazio (ossia una [[funzione misurabile]] <math>X:\Omega \mapsto \mathbb{R}</math>, dove i numeri si intendono equipaggiati con la loro [[Algebra di Borel|&sigma;-algebra boreliana]]). Il valore atteso di <math>X</math> è semplicemente l'integrale di <math>X</math> rispetto alla misura di probabilità <math>\mathbb{P}</math>:

::<math>\mathbb{E}(X\mathbb{P}):= \int_{\Omega} X(\omega) d \mathbb{P}(\omega)</math>.

=== Calcolare il valore atteso di variabili aleatorieDistribuzioni discrete ===

Nel caso di [[variabile casuale discreta]] che ammette [[funzione di probabilità]] <math>p_i</math> è definita come

::<math>\ \mathbb{E}[X] = \sum_{i=1}^{\infty} x_i\,p_i</math>

=== Calcolare il valore atteso di variabili aleatorie assolutamenteDistribuzioni continue ===

Nel caso di [[variabile casuale continua]] che ammette [[funzione di densità di probabilità]] ''f(x)'' la definizione diventa

::<math>\ \mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty}x f(x) dx</math>

=== Speranza matematica finita ===

Si dice che <math> X </math> ha speranza finita nel discreto se

::<math>\ \mathbb{E}[|X|] = \sum_{i=1}^{\infty} |x_i|\,p_i <+{\infty}</math>

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== Proprietà ==

=== Media di una costanteCostante ===

LaIl mediavalore atteso di una costante ''c'' (cioè di una variabile casuale che assume il valore ''c'' con probabilità 1) è ovviamente la costante stessa:

:<math>\mathbb{E}[c]=c</math>.

=== Linearità ===

Un'importante caratteristica del funzionale ''valore atteso'' è la [[operatorefunzionale lineare|linearità]]: ovvero per ogni variabile casuale X e coppia di [[numero reale|numeri reali]] ''a'' e ''b'' si ha

:<math>\mathbb{E}[aX+b]=a\mathbb{E}[X]+b</math>

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{{Vedi anche|Legge dei grandi numeri}}

== Stime del valore atteso ==

In [[statistica]], la stima del valore atteso assume un ruolo centrale, in quanto principale parametro usato nella [[statistica inferenziale]].

== CalcoloValori delattesi valorenei atteso nel giocogiochi ==

=== Gioco dei dadi ===

Nel [[Dado (gioco)|gioco dei dadi]], rappresentando il risultato del tiro del dado con una variabile casuale che possa assumere i valori <math> 1, 2, 3, 4, 5, 6 </math>, ciascuno con probabilità <math>1/6,</math> intuitivamente, la ''media'' di questa variabile casuale sarà <math>3,5</math>, dal momento che <math> 1\cdot \frac{1}{6}+2\cdot \frac{1}{6}+3\cdot \frac{1}{6}+4\cdot \frac{1}{6}+5\cdot \frac{1}{6}+6\cdot \frac{1}{6}=3,5.</math>

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|}

=== PokerGioco del poker ===

Il valore atteso è l'aspettativa, positiva o negativa che sia (ecco perché vedrete spesso le sigle EV- o EV+), che abbiamo ogniqualvolta prendiamo una decisione; cercare di prendere quante più decisioni a valore atteso positivo, è fondamentale per vincere nel long term.

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Queste analisi (spesso molto utili) richiedono tempo e non potrebbero mai essere effettuate durante una partita.

Nell'Nella Texas hold'em si presentano continuamente nuovi contesti di gioco, ma spesso è possibile individuare una situazione che è simile ad un'altra analizzata precedentemente. Tanto più si ha dimestichezza nell'individuare queste situazioni, tanto più ci si trovera' a proprio agio al tavolo da gioco.

Concludendo, diciamo che l'EV nel poker non è visibilmente presente ma che ogni sforzo che il giocatore fa per “vincere” non è altro che uno sforzo (consapevole o no) per fare scelte col più elevato EV possibile.