Distribuzione t di Student: differenze tra le versioni

Versione delle 20:40, 21 gen 2020

Versione delle 17:57, 3 feb 2020

Riga 1:

{{Variabile casuale

| nome = distribuzione <math>t</math> di StudentGosset

| tipo = densità di probabilità

| pdf_image = [[File:student_t_pdf.svg|325px|Funzione di densità di probabilità]]

Riga 21:

dove <math>K_{n}(x)</math> è una [[funzione di Bessel]]

}}

Nella [[teoria delle probabilità]] la '''distribuzione di StudentGosset''', o '''t di Student''', è una [[distribuzione di probabilità]] continua che governa il rapporto tra due [[variabile aleatoria|variabili aleatorie]], la prima con [[distribuzione normale]] e la seconda, al quadrato, segue una [[distribuzione chi quadrato]].

Questa distribuzione interviene nella stima della [[media (statistica)|media]] di una popolazione che segue la distribuzione normale, e viene utilizzata negli omonimi [[test t|test t di StudentGosset]] per la [[significatività]] e per ogni [[intervallo di confidenza]] della differenza tra due medie.

== Cenni storici ==

La distribuzione venne descritta nel [[1908]] da [[William Sealy Gosset]], che pubblicò il suo risultato sotto lo [[pseudonimo]] "Student" perché la [[Guinness (birra)|fabbrica di birra Guinness]] presso la quale era impiegato vietava ai propri dipendenti di pubblicare articoli affinché questi non divulgassero segreti di produzione. Il nome ''distribuzione di StudentGosset'' venne successivamente introdotto da [[Ronald Fisher]].<ref>

{{cita pubblicazione

|autore=Student ([[William Sealy Gosset]])

Riga 57:

== Definizione ==

La distribuzione di StudentGosset con parametro <math>n</math> (''gradi di libertà'') governa la variabile aleatoria

:<math>t_n=\frac{Z}{\sqrt{k/n}}</math>

dove <math>Z</math> e <math>k</math> sono due variabili aleatorie [[variabili indipendenti|indipendenti]] che seguono rispettivamente la [[distribuzione normale]] standard <math>\mathcal{N}(0,1)</math> e la [[distribuzione chi quadrato|distribuzione chi quadro]] <math>\chi^2(n)</math> con <math>n</math> gradi di libertà.

Riga 78:

Pertanto si definisce la variabile aleatoria

:<math>t_{N-1}=\frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{S^2/N}}=\frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{N}\frac{(N-1)S^2}{(N-1)\sigma^2}}}=\frac{Z}{\sqrt{k/(N-1)}}</math>

Tale variabile aleatoria segue una distribuzione di probabilità detta "t di StudentGosset".

== Ricavare la distribuzione di t ==

Riga 159:

== Caratteristiche ==

La distribuzione di StudentGosset con <math>n</math> gradi di libertà è [[simmetria (matematica)|simmetrica]], perché lo è la distribuzione normale standard mentre la distribuzione chi quadrato che funge da "parametro casuale di scala" non produce effetti di distorsione di tale simmetria.

La sua [[funzione di densità di probabilità]] è

Riga 176:

* la [[varianza]] <math>\text{Var}(t)=\frac{n}{n-2}</math> per <math>n>2</math>

* l'indice di [[curtosi]] <math>\gamma_2=\frac{6}{n-4}</math> per <math>n>4</math>

Consideriamo infine un ultimo parametro, il [[Full width at half maximum|FWHM]], ovvero la larghezza a mezza altezza. Per una variabile <math>t</math> di StudentGosset abbiamo che il picco della funzione è nel suo valore atteso, ovvero in <math>0</math>, dove la distribuzione ha valore massimo <math>\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{\pi n} \Gamma(\frac{n}{2})}</math>. Per cui troviamo i valori di <math>t</math> per i quali <math>f(t_n)</math> assume altezza pari a metà della massima assoluta.

<math>\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{2\sqrt{\pi n} \Gamma(\frac{n}{2})}=\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})\left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}}{\sqrt{\pi n} \Gamma(\frac{n}{2})}</math>

Riga 192:

<math>\lim_{n\to\infty} t_+-t_- = 2\sqrt{ln 4}= \sqrt{8ln 2}</math>

che è l'equivalente della FWHM della normale standard. Viceversa per <math>n=1</math> otteniamo un FWHM = 2. Difatti per <math>n=1</math> la distribuzione t di StudentGosset coincide con una [[Distribuzione di Cauchy|distribuzione di Lorentz-Cauchy]] di parametri <math>(0, 1)</math> dove la FWHM è per l'appunto uguale a <math>2</math>.

== Statistica ==

=== Intervallo di confidenza ===

La distribuzione di StudentGosset viene utilizzata per definire degli intervalli di confidenza per la media di una popolazione, sulla base degli stimatori puntuali <math>\bar{X}</math> e <math>S_n^2</math> della sua media e della sua varianza.

Dall'equazione

:<math>T=\frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{S_n^2/n}}</math>

si ha infatti

:<math>P(a\leqslant T\leqslant b)=P\left(\bar{X}-b\sqrt{S_n^2/n}\leqslant\mu\leqslant\bar{X}-a\sqrt{S_n^2/n}\right)</math>.

Scegliendo quindi dei [[quantile|quantili]] <math>q_{\alpha}<q_{\beta}</math> per la distribuzione di StudentGosset con <math>n</math> gradi di libertà, si ha

:<math>\beta-\alpha=P(q_{\alpha}\leqslant T\leqslant q_{\beta})=P\left(\bar{X}-q_{\beta}\sqrt{S_n^2/n}\leqslant\mu\leqslant\bar{X}-q_{\alpha}\sqrt{S_n^2/n}\right)</math>,

cioè un intervallo di confidenza per la media <math>\mu</math> con livello di confidenza <math>\beta-\alpha</math> è:

Riga 213:

== Altre distribuzioni ==

La distribuzione di StudentGosset con parametro <math>n=1</math> corrisponde alla [[distribuzione di Cauchy]] di parametri <math>(0,1)</math>: entrambe regolano il rapporto <math>X/Y</math> tra due variabili aleatorie indipendenti aventi distribuzione normale standard.

Al tendere di ''n'' a infinito la distribuzione di StudentGosset con ''n'' gradi di libertà [[convergenza di variabili casuali|converge]] alla distribuzione normale standard <math>\mathcal{N}(0,1)</math>.

Se <math>T</math> è una variabile aleatoria con distribuzione t di StudentGosset di parametro <math>n</math>, allora <math>F=T^2</math> segue la [[distribuzione di Fisher-Snedecor]] di parametri <math>(1,n)</math>.

== Tabella dei quantili ==

La seguente tabella<ref>Valori critici calcolati con la funzione qt(p,g) di [[R (software)|R]].</ref> esprime, in funzione del parametro ''n'' (riga) e di particolari valori di <math>\alpha</math> (colonna), i quantili <math>q_\alpha</math> per la distribuzione di StudentGosset di parametro ''n'':

:<math>P(T\leqslant q_\alpha)=F(q_\alpha)=\alpha</math>.

Riga 349:

* [[Distribuzione normale]]

* [[Test di verifica d'ipotesi]]

* [[Test t]] di Gosset

* [[William Sealy Gosset]]