Teorema di Cantor: differenze tra le versioni

Versione delle 22:36, 20 giu 2019

Versione delle 14:31, 21 feb 2020

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Per provare il teorema si deve mostrare che <math>f</math> è necessariamente non [[Funzione suriettiva|suriettiva]]. A tal fine è sufficiente individuare un elemento di <math>\mathcal P(A)</math> che non è nell'immagine di <math>f</math>. Questo elemento è:

:<math>B=\left\{x\in A : x\not\in f(x)\right\} \in \mathcal P(A).</math> .Si verifica che tale insieme è non vuoto , infatti se per ogni x appartenente ad A ,f(x)=x si ha la funzione identità che non è suriettiva .

Per dimostrare che <math>B</math> non è nell'immagine di <math>f</math>, si suppone per assurdo che lo sia. Per qualche <math>y\in A</math>, si ha allora <math>f(y) = B</math>. Si considerano ora i due casi possibili:

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Se <math>y \in B = f(y)</math> allora per la definizione di <math>B</math> si ha <math>y \not\in B</math>, assurdo.

In entrambi i casi si ottiene una contraddizione. Quindi <math>A</math> e il suo insieme potenza non sono equipotenti. In particolare, la cardinalità dell'insieme delle parti di <math>A</math> è maggiore della cardinalità di <math>A</math> perché la funzione <math>g\colon A \to \mathcal P(A)</math> definita come <math>g(a)=\{a\}</math> è chiaramente iniettiva.

== Voci correlate ==