Teorema di Cantor: differenze tra le versioni

Versione delle 14:49, 21 feb 2020

Versione delle 14:52, 21 feb 2020

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Per provare il teorema si deve mostrare che <math>f</math> è necessariamente non [[Funzione suriettiva|suriettiva]]. A tal fine è sufficiente individuare un elemento di <math>\mathcal P(A)</math> che non è nell'immagine di <math>f</math>. Questo elemento è:

:<math>B=\left\{x\in A : x\not\in f(x)\right\} \in \mathcal P(A).</math> .Si verifica che tale insieme è vuoto solo se f è non è suriettiva , infatti x appartiene a f(x) per ogni x appartenente ad A implica , per ogni x appartenente ad A si ha f(x)={x} e la funzione non è suriettiva , oppure esiste un x appartenente ad A tale che il singoletto {x} non è nell immagine della funzione e, in entrambui i casi dunque f non è suriettiva .

Per dimostrare che <math>B</math> non è nell'immagine di <math>f</math>, si suppone per assurdo che lo sia. Per qualche <math>y\in A</math>, si ha allora <math>f(y) = B</math>. Si considerano ora i due casi possibili: