Numero irrazionale: differenze tra le versioni

Versione delle 18:44, 22 feb 2020

Versione delle 14:27, 22 mar 2020

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Supponiamo che <math>\sqrt{2}</math> sia un numero razionale. Ciò comporta che esistono due interi ''a'' e ''b'' [[interi coprimi|privi di fattori comuni]] tali che <math>\frac{a}{b} = \sqrt{2}</math>. Elevando al quadrato si ha <math>\frac{a^2}{b^2} =2</math>, cioè <math>a^2=2b^2</math>.

Questo implica che ''a''² è pari. Poiché il quadrato di un numero pari è pari, ementre cheil quindiquadrato di un numero dispari è dispari, ne deriva che ''a'' è pari, ossia esiste ''k'' intero tale che ''a''=2''k''. Sostituendo abbiamo

Sostituendo abbiamo

:<math>a^2=(2k)^2=4k^2=2b^2 \Longrightarrow b^2=2k^2</math>

cioè anche ''b'' è pari, e quindi ''a'' e ''b'' hanno in comune un fattore 2, il che è impossibile perché li avevamo assunti privi di fattori comuni.