Operatore differenziale: differenze tra le versioni

Versione delle 19:30, 5 apr 2020

Versione delle 21:27, 5 apr 2020

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Un operatore differenziale lineare è un particolare operatore differenziale che agisce come una [[trasformazione lineare]], cioè conserva le operazioni di somma e prodotto. Le nozioni che valgono per gli operatori lineari sono validi particolarmente per gli operatori differenziali lineari che sono una parte importante degli operatori lineari. Un operatore differenziale lineare può essere scritto nella forma più generale:

:<math>A = \sum_{n=0}^{N} c_n (x) \frac{d^n}{dx^n},</math>

che applicato ada un elemento dello [[spazio funzionale]] <math>f(x)</math>:

:<math>A f(x)= \sum_{n=0}^{N} c_n (x) \frac{d^n f(x)}{dx^n}.</math>

In generale un operatore è rappresentato da una matrice quadrata e il prodotto scalare <math>\langle g|Af \rangle</math> è un elemento della matrice.

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Le proprietà della somma e del prodotto per un numero sono identiche a quelle vettoriali:

:<math>(A+B) f = Af + Bf \qquad (A \cdot B) f = A(Bf) \qquad (AB)C = A(BC) \qquad A(B+C) = AB + AC.</math>

Come nel caso delle matrici in generale il prodotto tra operatori differenziali lineari non è commutativo:

:<math>AB \ne BA.</math>

Definendo [[commutatore (matematica)|commutatore]]:

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Ogni [[polinomio]] in <math>D</math> con coefficienti funzionali è ancora un operatore differenziale. Si possono comporre operatori differenziali con la regola:

:<math>(D_1 \circ D_2)(f) = D_1 [D_2(f)].</math>

Ogni coefficiente funzionale dell'operatore <math>D_2</math> deve essere [[differenziabile]] tante volte quanto l'operatore <math>D_1</math> richiede. Per ottenere un [[anello (algebra)|anello]] di tali operatori bisogna assumere che siano usate derivate di ogni ordine. Inoltre, questo anello non è [[commutativo]] poiché un operatore <math>gD</math> non è in generale uguale a <math>Dg</math>. Per esempio, si veda la relazione in [[meccanica quantistica]]:

:<math>Dx -xD = 1 \ .</math>

Il sottoanello degli operatori che sono polinomi in <math>D</math> con coefficienti costanti è invece commutativo. Può essere caratterizzato in un altro modo: esso consiste negli operatori invarianti per traslazione.

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Definiamo ''potenza ennesima'' di un operatore, l'operatore:

:<math>A^n=\underbrace{ A\cdot A \cdots A }_{n}.</math>

Se la funzione <math>F(t)</math> è sviluppabile in serie di potenze di Mc Laurin:

:<math>F(t) = \sum_{n=0}^{\infty} F_n t^n,</math>

:, allora si definisce la funzione <math>F(A)</math> come:

:allora si definisce la funzione <math>F(A)=\sum_{n=0}^{+\infty}F_nA^n</math> come:

:<math>F(A)=\sum_{n=0}^{+\infty}F_n A^n.</math>

==Operatore aggiunto==

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l'aggiunto di tale operatore è definito come l'operatore <math>T^*</math> tale che:

: <math>\langle u,Tv \rangle = \langle T^*u, v \rangle,</math>

dove la notazione <math>\langle,\rangle</math> indica il [[prodotto scalare]] o [[prodotto interno]]. La definizione di aggiunto dipende quindi dalla definizione di prodotto scalare. Nello spazio funzionale delle [[funzione a quadrato sommabile|funzioni a quadrato sommabile]], il prodotto scalare è definito da:

: <math>\langle f, g \rangle = \int_a^b \overline{f(x)} \, g(x) \,dx .</math>

Se a questo aggiungiamo la condizione che <math>f</math> e <math>g</math> tendono a zero per <math>x \to a</math> e <math>x \to b</math>, è allora possibile definire l'aggiunto come:

: <math>T^*u = \sum_{k=0}^n (-1)^k D^k [a_k(x)u].</math>

Questa formula non dipende esplicitamente dalla definizione di prodotto scalare ed è talvolta utilizzata direttamente come definizione di operatore aggiunto, nel qual caso di parla più propriamente di ''operatore aggiunto formale''.

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L'operatore di [[Teoria di Sturm-Liouville|Sturm-Liouville]] è un esempio ben conosciuto di operatore formale [[operatore autoaggiunto|autoaggiunto]]. L'operatore differenziale del secondo ordine <math>L</math> può essere scritto nella forma:

: <math>Lu = -(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p) D^2 u +(-p') D u + (q)u\;.</math>

Che tale operatore sia effettivamente un operatore formale autoaggiunto può essere provato verificando come segue la definizione data sopra:

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Uno dei più frequenti operatori differenziali è il [[laplaciano]], definito come:

:<math>\Delta=\nabla^{2}=\sum_{k=1}^n {\partial^2\over \partial x_k^2}.</math>

Un altro operatore differenziale è l'operatore <math>\Theta</math>, definito come: