Somma di Ramanujan: differenze tra le versioni

Versione delle 14:34, 18 gen 2020

Versione delle 06:57, 22 mag 2020

Riga 55:

Dalla formula risulta che ''c_q''(''n'') è sempre reale.

=== KluvyerKluyver ===

Sìa <math>\zeta_q=e^{\frac{2\pi i}{q}}.</math>; allora ''ζ_q'' è una radice dell'equazione ''x^q'' − 1 {{=}} 0. Ciascuna delle sue potenze ζ_''q'', ζ_''q''², ... ζ_''q''^''q'' = ζ_''q''⁰ = 1, è anch'essa una radice dell'equazione. I numeri ζ_''q''^''n'' dove 1 ≤ ''n'' ≤ ''q'', sono dette la ''q''-esima [[Radice dell'unità]].<br />

''ζ_q'' è nota come la ''q''-esima radice dell'unità '''primitiva''' perché ''q'' è il più piccolo valore d ''n'' che rende ζ_''q''^''n'' = 1. L'altra radice dell'unità q-esima primitiva sono i numeri ζ_''q''^''a'', dove (''a'', ''q'') = 1. Pertanto, esistono φ(''q'') radici dell'unità q-esime primitive.

Riga 95:

:<math>c_q(n)=\sum_{d\,\mid\,(q,n)}\mu\left(\frac{q}{d}\right) d,</math>,

pubblicata da KluvyerKluyver nel 1906.<ref>G. H. Hardy, P. V. Seshu Aiyar, & B. M. Wilson, notes to ''On certain trigonometrical sums ...'', Ramanujan, ''Papers'', p. 343</ref><ref>J.C. Kluyver. Some formulae concerning the integers less than $n$ and prime to $n$. Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences (KNAW), 9(1):408–414, 1906. </ref>

Ciò mostra che ''c''_''q''(''n'') è sempre un intero. Si confronti con la formula

Riga 104:

:<math>\mbox{If } \;(q,r) = 1 \;\mbox{ then }\; c_q(n)c_r(n)=c_{qr}(n).</math>

Dalla definizione (o dalla formula di KluvyerKluyver) è immediato dimostrare che, se ''p'' è un numero primo

:<math>