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Fixed missing r_0 in the definition of r_i. |
m link [dD]ot product |
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Line 8:
# {{math|'''<var>r</var>'''<sub>0</sub> {{=}} '''<var>b</var>''' − '''<var>Ax</var>'''<sub>0</sub>}}
# Choose an arbitrary vector {{math|'''<var>r̂</var>'''<sub>0</sub>}} such that {{math|('''<var>r̂</var>'''<sub>0</sub>, '''<var>r</var>'''<sub>0</sub>) ≠ 0}}, e.g., {{math|'''<var>r̂</var>'''<sub>0</sub> {{=}} '''<var>r</var>'''<sub>0</sub>}} . {{math|('''<var>x</var>''','''<var>y</var>''') }} denotes the [[dot product]] of vectors {{math|1=('''<var>x</var>''','''<var>y</var>''') = '''<var>x</var>'''<sup>T</sup> '''<var>y</var>'''}}
# {{math|<var>ρ</var><sub>0</sub> {{=}} <var>α</var> {{=}} <var>ω</var><sub>0</sub> {{=}} 1}}
# {{math|'''<var>v</var>'''<sub>0</sub> {{=}} '''<var>p</var>'''<sub>0</sub> {{=}} '''0'''}}
Line 132:
:{{math|<var>ρ̃</var><sub><var>i</var></sub> {{=}} (<var>Q</var><sub><var>i</var>−1</sub>('''<var>A</var>'''<sup>T</sup>)'''<var>r̂</var>'''<sub>0</sub>, <var>P</var><sub><var>i</var>−1</sub>('''<var>A</var>''')'''<var>r</var>'''<sub>0</sub>) {{=}} ('''<var>r̂</var>'''<sub>0</sub>, <var>Q</var><sub><var>i</var>−1</sub>('''<var>A</var>''')<var>P</var><sub><var>i</var>−1</sub>('''<var>A</var>''')'''<var>r</var>'''<sub>0</sub>) {{=}} ('''<var>r̂</var>'''<sub>0</sub>, '''<var>r</var>'''<sub><var>i</var>−1</sub>)}}.
Due to biorthogonality, {{math|'''<var>r</var>'''<sub><var>i</var>−1</sub> {{=}} <var>P</var><sub><var>i</var>−1</sub>('''<var>A</var>''')'''<var>r</var>'''<sub>0</sub>}} is orthogonal to {{math|<var>U</var><sub><var>i</var>−2</sub>('''<var>A</var>'''<sup>T</sup>)'''<var>r̂</var>'''<sub>0</sub>}} where {{math|<var>U</var><sub><var>i</var>−2</sub>('''<var>A</var>'''<sup>T</sup>)}} is any polynomial of degree {{math|<var>i</var> − 2}} in {{math|'''<var>A</var>'''<sup>T</sup>}}. Hence, only the highest-order terms of {{math|<var>P</var><sub><var>i</var>−1</sub>('''<var>A</var>'''<sup>T</sup>)}} and {{math|<var>Q</var><sub><var>i</var>−1</sub>('''<var>A</var>'''<sup>T</sup>)}} matter in the [[dot
:{{math|<var>ρ<sub>i</sub></var> {{=}} (<var>α</var><sub>1</sub>/<var>ω</var><sub>1</sub>)(<var>α</var><sub>2</sub>/<var>ω</var><sub>2</sub>)⋯(<var>α</var><sub><var>i</var>−1</sub>/<var>ω</var><sub><var>i</var>−1</sub>)<var>ρ̃</var><sub><var>i</var></sub>}},
Line 144:
:{{math|<var>α<sub>i</sub></var> {{=}} <var>ρ<sub>i</sub></var>/('''<var>p̂</var>'''<sub><var>i</var></sub>, <var>'''Ap'''<sub>i</sub></var>) {{=}} (<var>P</var><sub><var>i</var>−1</sub>('''<var>A</var>'''<sup>T</sup>)'''<var>r̂</var>'''<sub>0</sub>, <var>P</var><sub><var>i</var>−1</sub>('''<var>A</var>''')'''<var>r</var>'''<sub>0</sub>)/(<var>T</var><sub><var>i</var>−1</sub>('''<var>A</var>'''<sup>T</sup>)'''<var>r̂</var>'''<sub>0</sub>, <var>'''A'''T</var><sub><var>i</var>−1</sub>('''<var>A</var>''')'''<var>r</var>'''<sub>0</sub>)}}.
Similarly to the case above, only the highest-order terms of {{math|<var>P</var><sub><var>i</var>−1</sub>('''<var>A</var>'''<sup>T</sup>)}} and {{math|<var>T</var><sub><var>i</var>−1</sub>('''<var>A</var>'''<sup>T</sup>)}} matter in the [[dot
:{{math|<var>α<sub>i</sub></var> {{=}} (<var>Q</var><sub><var>i</var>−1</sub>('''<var>A</var>'''<sup>T</sup>)'''<var>r̂</var>'''<sub>0</sub>, <var>P</var><sub><var>i</var>−1</sub>('''<var>A</var>''')'''<var>r</var>'''<sub>0</sub>)/(<var>Q</var><sub><var>i</var>−1</sub>('''<var>A</var>'''<sup>T</sup>)'''<var>r̂</var>'''<sub>0</sub>, <var>'''A'''T</var><sub><var>i</var>−1</sub>('''<var>A</var>''')'''<var>r</var>'''<sub>0</sub>) {{=}} <var>ρ̃</var><sub><var>i</var></sub>/('''<var>r̂</var>'''<sub>0</sub>, '''<var>A</var>'''<var>Q</var><sub><var>i</var>−1</sub>('''<var>A</var>''')<var>T</var><sub><var>i</var>−1</sub>('''<var>A</var>''')'''<var>r</var>'''<sub>0</sub>) {{=}} <var>ρ̃</var><sub><var>i</var></sub>/('''<var>r̂</var>'''<sub>0</sub>, '''<var>Ap̃</var>'''<sub><var>i</var></sub>)}}.
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