Teorema di Cantor: differenze tra le versioni

Versione delle 11:17, 19 giu 2020

Versione delle 11:18, 19 giu 2020

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In [[matematica]], e in particolare nella [[teoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel]] (ZF), il '''teorema di Cantor''' afferma che, dato un insieme di qualsiasi [[cardinalità]] (numero di elementi), esiste sempre un insieme di cardinalità maggiore. In particolare, dato un insieme <math>X</math>, l'[[insieme delle parti]] di <math>X</math> (cioè l'insieme formato da tutti i possibili sottoinsiemi di <math>X</math>) ha sempre cardinalità maggiore di quella di <math>X</math>.

Il teorema di Cantor è ovvio per [[insieme finito|insiemi finiti]], ma continua a valere anche per [[insieme infinito|insiemi infiniti]]. In particolare, l'[[insieme delle parti]] di un [[insieme numerabile]] non è non numerabile.

Per una trattazione della tecnica di dimostrazione usata da Cantor si veda la voce [[argomento diagonale di Cantor]].

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== La dimostrazione ==

SiakSia <math>f</math> una generica funzione da <math>A</math> nell'insieme delle parti di <math>A</math>:

:<math>f\colon A \to \mathcal P(A).</math>

Per provare il teorema si deve mostrare che <math>f</math> è necessariamente non [[Funzione suriettiva|suriettiva]]. A tal fine è sufficiente individuare un elemento di <math>\mathcal P(A)</math> che non è nell'immagine di <math>f</math>. Questo elemento è: