Varietà (geometria): differenze tra le versioni

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Versione delle 21:23, 20 lug 2020

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Se <math>g:\mathbb R^n \longrightarrow \mathbb R^m</math>, con <math>n\leq m</math>, è un omeomorfismo locale (ad esempio se differenziabile e con determinante jacobiano mai nullo), allora il suo [[Grafico di una funzione|grafico]] <math>G</math> è una <math>n</math>-varietà. Infatti le carte locali di <math>G</math> sono le inverse locali di <math>g</math>, mentre le condizioni di essere di Hausdorff e secondo numerabile sono soddisfatte in quanto <math>G</math> è un sottospazio di <math>\mathbb R^m</math>. Una varietà di tale genere si dice una varietà di tipo grafico.[[File:Sphere_with_chart.png|thumb|Ogni emisfero della sfera è contenuto in una carta.|181x181px]]

La [[sfera]] <math> n + 1 </math>-dimensionale

:<math> S^n = \big\{ (x_1,\ldots ,x_{n+1})\in \mathbb R^{n+1}: x_1^2 + \ldots +x_{n+1}^2 = 1 \big\} </math>

è una varietà di dimensione <math> n </math>. Per provarlo, basta osservare che le [[Proiezione (geometria)|proiezioni]]<blockquote><math> \varphi_i(x_1, \ldots , x_{n+1})=(x_1, \ldots , x_{i-1}, x_{i+1}, \ldots , x_{n+1}) </math></blockquote>inducono degli omeomorfismi tra gli emisferi di <math> S^n </math> (cioè l'intersezione di <math> S^n </math> con un semispazio del tipo <math> \{x_i>0\} </math> oppure <math> \{ x_i <0 \} </math>), e la palla aperta di <math> \mathbb R^n </math> con centro l'origine e raggio <math> 1 </math>. Quindi la sfera è una <math> n </math>-varietà, in quanto localmente è una varietà di tipo grafico di dimensione <math> n </math>.

Si può definire un altro atlante di <math> S^n </math> se invece delle proiezioni canoniche si usano le [[proiezione stereografica|proiezioni stereografiche]].

=== Classificazione in dimensione bassa ===