Particella libera: differenze tra le versioni

Versione delle 11:31, 5 ago 2007

Versione delle 16:30, 12 ott 2007

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:<math>-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \psi (x) + V(x) \cdot \psi (x) = E \cdot \psi (x)</math>

poiché <math>V(x) = 0</math> si ha l'equazione di Schrödinger unidimensionale per la particella libera:

:<math>-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \psi (x) = E \cdot \psi (x)</math>

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:<math>\frac{d^2}{dx^2} \psi (x) = - k^2 \cdot \psi (x)</math>

dove <math>k = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}</math>. LaIn suagenerale soluzionel'operatore generale[[hamiltoniano]] <math>\mathcal{H}</math> e l'operatore impulso <math>p</math> [[commutatore|commutano]], così vale anche per l'[[energia ècinetica]] della formaparticella:

:<math>\psi(x) = A e^{ikx\mathcal{H}+, B e^{-ikxp\} = 0</math>

:<math>\left{ \mathcal{H}, \frac{p^2}{2 m} \right} =0</math>

con ''A,B'' coefficienti reale arbitrari da determinarsi imponendo le condizioni al contorno.

e quindi ammettono una base comune di [[Autostato|autostati]]. La soluzione generale dell'equazione di Schrödinger sono le autofunzioni dell'impulso, quindi:

Imponendo le condizioni al contorno che la funzione d'onda si annulli all'infinito <math>\psi ( \infty )= 0 </math> si ottiene:

<math>\psi(x) = A e^{i\lanbda x}+ B e^{-i\lambda x}</math>

con ''A,B'' coefficienti reale arbitrari da determinarsi imponendo le condizioni al contorno. Imponendo le condizioni al contorno che la funzione d'onda si annulli all'infinito <math>\psi ( \infty )= 0 </math> si ottiene:

<math>B = 0</math>

cioè l'onda è solo progressiva. La costante ''A'' si determina imponendo la normalizzazione degli stati.

La soluzione dipendente dal tempo si può esplicitare:

:<math>\psi(x,t) = C \cdot e^{- (Et - p \cdot x)/ \hbar}</math>

dove <math>E = p^2/(2m)</math>, cioè un'[[onda piana]] di energia ''E'' e quantità di moto ''p'', che viaggia con [[frequenza]]:

:<math>\omega = \frac{E}{\hbar}</math>

e il cui [[vettore d'onda]] è:

:<math>k = \frac{p}{\hbar}</math>

Lo [[spettro]] energetico è quindi continuo, da zeo all'infinito, ogni autovalore (escluso <math>E=0</math>) ha molteplicità infinita poiché ad ogni autovalore corrispondono infinite autofunzioni che differiscono per la direzione di ''p''. (Nel caso unidimensionale che stiamo trattando ciò non sussiste perché vi è una sola direzione, ma nel caso troidimensionale p è un vettore).

==Voci correlate==

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*[[Oscillatore armonico quantistico]]

{{Portale|fisica}}

[[Categoria:Problemi unidimensionali]]