Modello lineare generalizzato: differenze tra le versioni
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Il ''parametro di dispersione'', <math>\tau</math>, tipicamente è noto ed è solitamente correlato alla varianza della distribuzione. La funzione <math>h(\mathbf{y},\tau)</math>, <math>\mathbf{b}(\boldsymbol\theta)</math>, <math>\mathbf{T}(\mathbf{y})</math>, <math>A(\boldsymbol\theta)</math>, e <math>d(\tau)</math> sono conosciute. Molte distribuzioni comuni sono in questa famiglia, tra cui la normale, esponenziale, gamma, Poisson, Bernoulli e (per un numero fisso di prove) binomiale, multinomiale e binomiale negativo.
For scalar <math>\mathbf{y}</math> and <math>\boldsymbol\theta</math> (denoted <math>y</math> and <math>\theta</math> in this case), this reduces to
: <math> f_Y(y \mid \theta, \tau) = h(y,\tau) \exp \left(\frac{b(\theta)T(y) - A(\theta)}{d(\tau)} \right). \,\!</math>
<math>\boldsymbol\theta</math> è correlato alla media della distribuzione. Se <math>\mathbf{b}(\boldsymbol\theta)</math> è la funzione di identità, quindi si dice che la distribuzione sia nella [[forma canonica]] (o ''forma naturale''). Nota che qualsiasi distribuzione può essere convertita in forma canonica mediante riscrittura <math>\boldsymbol\theta</math> as <math>\boldsymbol\theta'</math> e quindi applicare la trasformazione <math>\boldsymbol\theta = \mathbf{b}(\boldsymbol\theta')</math>. È sempre possibile convertire <math>A(\boldsymbol\theta)</math> in termini di nuova parametrizzazione, anche se <math>\mathbf{b}(\boldsymbol\theta')</math> non è una [[funzione uno a uno]]. Se in aggiunta, <math>\mathbf{T}(\mathbf{y})</math> è l'identità e<math>\tau</math> è conosciuto, allora <math>\boldsymbol\theta</math> è conosciuto come '' parametro canonico'' (or ''natural parameter'')ed è correlato al mezzo attraverso
:<math> \boldsymbol\mu = \operatorname{E}(\mathbf{y}) = \nabla A(\boldsymbol\theta). \,\!</math>
== Fonti ==
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