Biconjugate gradient stabilized method: Difference between revisions

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Revision as of 16:39, 31 August 2023

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# {{math|'''<var>r</var>'''₀ {{=}} '''<var>b</var>''' − '''<var>Ax</var>'''₀}}

# Choose an arbitrary vector {{math|'''<var>r̂</var>'''₀}} such that {{math|('''<var>r̂</var>'''₀, '''<var>r</var>'''₀) ≠ 0}}, e.g., {{math|'''<var>r̂</var>'''₀ {{=}} '''<var>r</var>'''₀}}

# {{math|<var>ρ</var>₀ {{=}} ('''<var>αr̂</var>'''₀, {{=}} '''<var>ωr</var>'''₀) {{=}} 1}}

# {{math|'''<var>vp</var>'''₀ {{=}} '''<var>pr</var>'''₀ {{=}} '''0'''}}

# For {{math|<var>i</var> {{=}} 1, 2, 3, …}}

## {{math|'''<var>ρ_iy</var>''' {{=}} ({{SubSup|'''<var>r̂K</var>'''|2|−1}}{{SubSup|'''<subvar>0K</subvar>, '''|1|−1}}'''<var>rp</var>'''_{<var>i</var>−1})}}

## {{math|<var>β'''v'''</var> {{=}} ('''<var>ρ_iAy</var>/<var>ρ</var>_{<var>i</var>−1})(<var>α</var>/<var>ω</var>_{<var>i</var>−1})'''}}

## {{math|<var>'''p'''_iα</var> {{=}} '''<var>rρ</var>'''_{<var>i</var>−1} + <var>β</var>('''<var>pr̂</var>'''_{<var>i</var>−10} −, <var>ω</var>_{<var>i</var>−1}'''<var>v</var>'''_{<var>i</var>−1})}}

## {{math|'''<var>y</var>''' {{=}} {{SubSup|'''<var>K</var>'''|2|−1}}{{SubSup|'''<var>K</var>'''|1|−1}}'''<var>p</var>'''_<var>i</var>}}

## {{math|<var>'''v'''_i</var> {{=}} '''<var>Ay</var>'''}}

## {{math|<var>α</var> {{=}} <var>ρ_i</var>/('''<var>r̂</var>'''₀, <var>'''v'''_i</var>)}}

## {{math|<var>'''h'''</var> {{=}} '''<var>x</var>'''_{<var>i</var>−1} + <var>α'''y'''</var> }}

## {{math|'''<var>ys</var>''' {{=}} {{SubSup|'''<var>Kr</var>'''|2|−1}}{{SubSup|'''<sub><var>Ki</var>'''|1|−1}}'''<var/sub>p − </var>α'''v'''_<var>i</var>}}

## If {{math|<var>'''h'''</var>}} is accurate enough then {{math|<var>'''x'''_i</var> {{=}} <var>'''h'''</var>}} and quit

## {{math|'''<var>s</var>''' {{=}} '''<var>r</var>'''_{<var>i</var>−1} − <var>α'''v'''_i</var>}}

## {{math|'''<var>z</var>''' {{=}} {{SubSup|'''<var>K</var>'''|2|−1}}{{SubSup|'''<var>K</var>'''|1|−1}}'''<var>s</var>'''}}

## {{math|'''<var>t</var>''' {{=}} '''<var>Az</var>'''}}

## {{math|<var>ω_i</var> {{=}} ({{SubSup|'''<var>K</var>'''|1|−1}}'''<var>t</var>''', {{SubSup|'''<var>K</var>'''|1|−1}}'''<var>s</var>''')/({{SubSup|'''<var>K</var>'''|1|−1}}'''<var>t</var>''', {{SubSup|'''<var>K</var>'''|1|−1}}'''<var>t</var>''')}}

## {{math|<var>'''x'''_i</var> {{=}} <var>'''h'''</var> + <var>ω_i'''z'''</var>}}

## {{math|<var>'''vr'''_i</var> {{=}} '''<var>Ays</var>''' − <var>ω'''t'''</var>}}

## If {{math|<var>'''x'''_i</var>}} is accurate enough then quit

## {{math|<var>'''r'''ρ_i</var> {{=}} ('''<var>sr̂</var>''' − <var>ω_i0, '''t<var>r</var>'''_<var>i</var>)}}

## {{math|<var>αβ</var> {{=}} (<var>ρ_i</var>/('''<var>r̂ρ</var>'''_{0</subvar>, i</var>'''v'''−1}i)(<var>α</subvar>/<var>ω</var>)}}

## {{math|<var>'''p'''<varsub>i</sub>s</var>''' {{=}} '''<var>r</var>'''_{<var>i</var>−1} −+ <var>αβ</var>('''v<var>p</var>'''_{<var>i</var>−1} − <var>ω</var>'''<var>v</var>''')}}

This formulation is equivalent to applying unpreconditioned BiCGSTAB to the explicitly preconditioned system