Variabile casuale: differenze tra le versioni

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Versione delle 23:58, 27 gen 2021

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In [[matematica]], e in particolare nella [[teoria della probabilità]], una '''variabile casuale''' (detta anche '''variabile aleatoria''' o '''variabile stocastica''') è una [[Variabile (matematica)|variabile]] che può assumere valori diversi in dipendenza da qualche [[fenomeno aleatorio]]. Ad esempio, il risultato del lancio di un dado bilanciato a sei facce può essere matematicamente modellato come una variabile casuale che può assumere uno dei sei possibili valori <math> 1, 2, 3, 4, 5, 6</math> e ogni valore ha probabilità <math>1/6</math> di presentarsi.

Il termine ''«aleatorio''» deriva dal latino ''alea'' (''gioco di dadi''<ref>{{Cita web|url=http://www.treccani.it/vocabolario/aleatorio/|titolo=Definizione di Aleatorio|sito=treccani.it|accesso=9 febbraio 2015}}</ref>, ricorda il famoso ''[[alea iacta est]]'') ed esprime il concetto di rischio calcolato. La denominazione alternativa ''stocastico'' è stata introdotta da [[Bruno de Finetti]]<ref>{{Cita libro | titolo=DELI, Dizionario etimologico della lingua italiana | editore=Zanichelli | anno=2009}}</ref>. Il termine ''«casuale''» deriva dal latino ''casualis''.

== Storia ==

Ancorché non formalizzato, il concetto della distribuzione statistica attorno ad una media era noto fin dall'antichità. Leggiamo infatti nel ''[[Fedone]]'' di [[Platone]]:

:''{{Citazione|«E non è ingiusto, questo? Non è forse vero che chi si comporta così, evidentemente vive tra gli uomini senza averne nessuna esperienza? Se, infatti, li conoscesse appena, saprebbe che son pochi quelli veramente buoni o completamente malvagi e che per la maggior parte, invece, sono dei mediocri.»<br />
«In che senso?» feci.<br />
«È lo stesso delle cose molto piccole e molto grandi. Credi forse che sia tanto facile trovare un uomo o un cane o un altro essere qualunque molto grande o molto piccolo o, che so io, uno molto veloce o molto lento o molto brutto o molto bello o tutto bianco o tutto nero? Non ti sei mai accorto che in tutte le cose gli estremi sono rari mentre gli aspetti intermedi sono frequenti, anzi numerosi?»|Platone, ''Fedone'', XXXIX}}

(Platone, Fedone, XXXIX)

== Definizione ==

Più formalmente, dato uno [[Spazio di misura#Spazio di probabilità|spazio di probabilità]] <math>(\Omega,\mathcal{F},\nu)</math> (dove <math>{\Omega}</math> è un [[insieme]] detto ''[[spazio campionario]]'' o ''insieme degli [[Evento (teoria della probabilità)|eventi]]'', <math>\mathcal{F}</math> è una [[sigma-algebra]] su <math>{\Omega}</math> e <math>\nu</math> è una [[misura di probabilità]]) e dato uno [[spazio misurabile]] <math>(E,\mathcal{E})</math>, una '''<math>(E,\mathcal{E})</math>-variabile aleatoria''' è una [[funzione misurabile]] <math>X\colon \Omega \to E</math> dallo spazio campionario ad <math>E</math>.

In questa definizione si intende che una [[funzione (matematica)|funzione]] <math>X</math> è misurabile se per ogni <math>A\in\mathcal{E}</math> si ha che <math>X^{-1}(A)\in \mathcal{F}</math>. Questa definizione di misurabilità è una generalizzazione di quella definita da [[Bernard Lindgren|Lindgren]] ([[1976]]):

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</cite>

Se <math>E</math> è uno [[spazio topologico]] e <math>\mathcal{E}</math> è la [[Algebra di Borel|sigma-algebra di Borel]] allora <math>X</math> è detta anche '''<math>E</math>-variabile aleatoria'''. Inoltre se <math>E=\mathbb{R}^n</math> allora <math>X</math> è detta semplicemente '''variabile aleatoria'''.

In altre parole una variabile aleatoria <math>X</math> è un ''modo'' per indurre una [[misura di probabilità]] sullo [[spazio misurabile]] di arrivo <math>E</math> a partire dalla misura di probabilità definita sull'insieme degli eventi <math>\Omega</math>.

* Le variabili casuali a una dimensione (cioè a valori in <math>\R</math>) si dicono ''semplici'' o ''univariate''.

* Le variabili casuali a più dimensioni si dicono ''multiple'' o ''multivariate'' (doppie, triple, <math>k</math>-uple).

Variabili casuali che dipendono da un parametro ''t'' (dove ''t'' sta solitamente per ''tempo'') vengono

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== Distribuzione di probabilità ==

{{vedi anche|Misura di probabilità}}

La [[misura di probabilità]] indotta sullo [[spazio misurabile]] di arrivo <math>(E,\mathcal{E})</math> da una variabile aleatoria <math>X</math>, a partire dalla misura di probabilità <math>\nu</math> su <math>(\Omega,\mathcal{F})</math>, è detta la '''distribuzione''', o legge, '''di probabilità''', di <math>X</math>, è indicata con <math>P_X</math> ed è definita nel seguente modo

:<math> P_X(A) := \nu (X^{-1}(A)), </math>

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Per variabili aleatorie a valori [[numero reale|reali]], la legge di probabilità della variabile casuale <math>X</math> è individuata univocamente dalla sua ''[[funzione di ripartizione]]'', definita come <math>F(x)= P(X \le \ x)</math>. Inoltre:

* se la variabile casuale <math>X</math> è [[Distribuzione discreta|discreta]], cioè l'insieme dei possibili valori (il '''rango''' o '''supporto''' di <math>X</math>) è [[insieme finito|finito]] o [[insieme numerabile|numerabile]], è definita anche la ''[[funzione di probabilità|funzione di massa]]'' (o ''funzione massa di probabilità'' o ''densità discreta''), ossia la funzione di probabilità discreta

::<math>p(x)=P(X=x)</math>

* se la variabile casuale <math>X</math> è [[Distribuzione continua|continua]], cioè l'insieme dei possibili valori ha la [[Cardinalità del continuo|potenza del continuo]], è definita anche la ''[[funzione di densità di probabilità]]'', cioè la funzione <math>f</math> non negativa tale per cui

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== Alcune variabili casuali utilizzate in statistica ==

Le variabili casuali si dividono principalmente in due grandi classi, '''[[Distribuzione discreta|discrete]]''' e '''[[Distribuzione continua|continue]]''' (o '''assolutamente continue'''):

Esempi del primo tipo:

* [[Distribuzione discreta uniforme|variabile casuale uniforme discreta]]