Numero irrazionale: differenze tra le versioni

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Versione delle 10:56, 8 mar 2021

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I numeri trascendenti furono per la prima volta distinti dagli irrazionali algebrici da Kronecker. [[Johann Heinrich Lambert|Lambert]] provò (1761) che <math>\pi</math> non può essere razionale, e che ''e''^''n'' è irrazionale se ''n'' è razionale (eccetto ''n'' = 0), dimostrazione, comunque, che lasciò molto a desiderare. [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] (1794) completò la dimostrazione di Lambert, e mostrò che <math>\pi</math> non è la radice quadrata di un numero razionale. [[Joseph Liouville]] (1840) mostrò che né ''e'' né ''e''² possono essere radici di un'[[equazione quadratica]] intera. Ma l'esistenza di numeri trascendenti fu per la prima volta stabilita da Liouville (1844, 1851); una proposizione più forte, che afferma che gli irrazionali e i trascendenti hanno [[cardinalità]] maggiore di quella degli algebrici, fu trovata da [[Georg Cantor]] nel 1873. [[Charles Hermite]] (1873) provò per primo la trascendenza di ''e'', e [[Ferdinand von Lindemann]] (1882), partendo dalle conclusioni di Hermite, mostrò lo stesso per <math>\pi</math>. La dimostrazione di Lindemann fu molto semplificata da Weierstrass (1885), e ulteriormente da [[David Hilbert]] (1893); infine fu resa quasi elementare da [[Adolf Hurwitz|Hurwitz]] e [[Paul Gordan|Gordan]].

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== Esempi ==

=== Irrazionalità della radice quadrata di 2 ===

Una dimostrazione dell'irrazionalità della [[radice quadrata di due]] (trasmessa da [[Archita]]) è la seguente, che procede [[per assurdo]]. La proposizione è provata assumendo l'opposto e mostrando che è falso, che implica che la proposizione iniziale debba essere vera.