Simmetria (statistica): differenze tra le versioni

Versione delle 11:45, 13 apr 2021

Versione delle 12:34, 13 apr 2021

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L'indice più utilizzato, noto semplicemente come ''indice di asimmetria'' o ''skewness'', è definito come

:<math>\gamma_1=\frac{m_3}{m_2^{3/2}}</math>

tramite i momenti centrali <math>m_k=E[\bar{X}^k]</math>, ovveroossia i valori attesi delle potenze della variabile aleatoria [[valore atteso|centrata]] <math>\bar{X}=X-E[X].</math>.

Poiché il primo momento centrale è sempre nullo ed il secondo momento centrale (la [[varianza]]) è nullo solo per le distribuzioni concentrate su un unico valore, il terzo momento centrale <math>m_3</math> è quello di ordine più basso che può "sperare" di misurare l'asimmetria di una distribuzione. Inoltre il riscalamento per <math>m_2^{3/2}</math> permette all'indice <math>\gamma_1</math> di restare invariato per [[trasformazione lineare|trasformazioni lineari]] <math>Y=aX+b,</math> che trasformano i momenti centrali come <math>m_k(aX+b)=a^km_k(X).</math>

Inoltre il riscalamento per <math>m_2^{3/2}</math> permette all'indice <math>\gamma_1</math> di restare invariato per [[trasformazione lineare|trasformazioni lineari]] <math>Y=aX+b</math>, che trasformano i momenti centrali come <math>m_k(aX+b)=a^km_k(X)</math>.

Talvolta viene utilizzato al posto di <math>\gamma_1</math> l'indice

:<math>\beta_1=\gamma_1^2=\frac{m_3^2}{m_2^3},</math>

che tuttavia perde l'informazione sul [[segno (matematica)|segno]] dell'asimmetria.

In [[statistica]] l'indice di asimmetria calcolato su un campione osservato <math>\{x_1,...\ldots,x_n\}</math> di media <math>\bar{x}</math> segue la formula

:<math>\gamma_1=\frac{\sum_{i=1}^n\frac{1}{n}(x_i-\bar{x})^3}{\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{n}(x_i-\bar{x})^2\right)^{3/2}}.</math>.

Il successivo momento centrale <math>m_4</math> viene invece utilizzato per calcolare la [[curtosi]] (che vuole "misurare" l'allontanamento della distribuzione dalla distribuzione normale).

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Ogni distribuzione simmetrica ha indice di asimmetria 0.

La somma <math>Y=X_1+...\ldots+X_n</math> di ''<math>n''</math> variabili aleatorie [[variabili indipendenti]] con la ''stessa'' distribuzione ha momenti centrali <math>m_k(Y)=nm_k(X);</math>; in particolare

:<math>\gamma_1(Y)=\frac{1}{\sqrt{n}}\gamma_1(X).</math>

Una convinzione '''sbagliata''' ma diffusa (e "sostenuta" da alcuni testi che la riportano come ''regola indicativa'') è che il segno del coefficiente <math>\gamma_1</math> possa determinare le posizioni reciproche del valore atteso, della [[mediana (statistica)|mediana]] e della [[moda (statistica)|moda]] (se questa è unica) di una distribuzione, in particolare che esse debbano coincidere se <math>\gamma_1=0</math>.<ref>{{cita web|url=https://www.amstat.org/publications/jse/v13n2/vonhippel.html|titolo=Mean, Median, and Skew: Correcting a Textbook Rule|lingua={{en}}|autore=Paul T. von Hippel|accesso=21 marzo 2010|opera=Journal of Statistics Education}}</ref>

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Alcuni indici di asimmetria alternativi per un [[campione (statistica)|campione statistico]] sono stati proposti da [[Karl Pearson]]; coinvolgono la media (il [[valore atteso]]), la [[mediana (statistica)|mediana]], la [[moda (statistica)|moda]] e lo [[scarto quadratico medio]] (la radice quadrata della varianza):

* l'asimmetria di moda di Pearson

:( :<math>\frac{\text{media} - \text{moda ) / }}{\text{scarto quadratico medio,}};</math>

* il primo coefficiente di asimmetria di Pearson

::<math>\frac{3 ( \text{media} - \text{moda }) / }{\text{scarto quadratico medio,}};</math>

* il secondo coefficiente di asimmetria di Pearson

::<math>\frac{3 ( \text{media} - \text{mediana }) / }{\text{scarto quadratico medio}}.</math>

== Esempio ==

Un esempio di distribuzione non simmetrica con coefficiente di asimmetria 0 è la distribuzione discreta

:<math>P(-4)=\tfrac{1}{3},\quad P(1)=\tfrac{1}{2},\quad P(5)=\tfrac{1}{6},</math>,

che può essere visualizzata come il lancio di un dado le cui sei facce presentino i numeri " -4, -4, 1, 1, 1, 5 ".

Questa distribuzione è chiaramente non simmetrica, tuttavia ha [[valore atteso]] pariuguale a 0 (è centrata) e terzo momento centrale pariuguale a <math>(\tfrac{-64-64+1+1+1+125)/}{6}=0,</math>, pertanto ha indici di asimmetria <math>\gamma_1=\beta_1=0.</math>.

Nell'esempio la moda e la mediana non coincidono con la media, ma questo si può ottenere aggiungendo altre 4 "facce" con valore 0; in questo modo anche gli indici di Pearson diventano nulli e la distribuzione resta non simmetrica.