Sistema input-output: differenze tra le versioni

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Nel secondo caso, ne risultano alterate le matrici ''A'' e ''B''; possono cambiare i valori di alcuni loro elementi, oppure possono sparire vecchie righe o colonne e apparirne di nuove.

Può anche risultare utile valutare gli effetti di una tecnologia piuttosto che di altre, mediante algoritmi di [[Programmazione lineare]].<ref>Leontief («Input-output analysis», p. 35) ricorda che [[George Dantzig]] sviluppò l'[[algoritmo del simplesso]] come strumento per automatizzare i calcoli di modelli input-output con successive modifiche delle matrici. V. anche gli interventi di Dantzig in ''[http://cowles.econ.yale.edu/P/cm/m13/index.htm Activity Analysis of Production and Allocation. Proceedings of a Conference] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080604104048/http://cowles.econ.yale.edu/P/cm/m13/index.htm |date=4 giugno 2008 }}'', a cura di Tjalling Koopmans, New York, John Wiley & Sons, 1951 e G. Dantzig, «[https://links.jstor.org/sici?sici=0012-9682%28195507%2923%3A3%3C295%3AOSOADL%3E2.0.CO%3B2-H Optimal Solution of a Dynamic Leontief Model with Substitution] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210528154736/https://www.jstor.org/stable/1910385 |date=28 maggio 2021 }}», ''Econometrica'', vol. 23, n. 3. (luglio 1955), pp. 295-302.</ref>

== Il modello rettangolare di Stone ==

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I modelli di Leontief, come si è visto, si basano su matrici quadrate, dette anche simmetriche perché sia le righe che le colonne si riferiscono allo stesso insieme di settori.

Negli anni '60 [[Richard Stone]], nell'ambito del suo lavoro sui sistemi di [[contabilità nazionale]], introdusse matrici rettangolari dedicate alle risorse (''supply'') ed ai relativi impieghi (''use''), che, oltre a fornire informazioni di rilevante interesse, consentivano di costruire poi una matrice simmetrica di tipo Leontief. Il metodo di Stone è stato recepito, tramite gli standard internazionali SNA 93<ref>Nazioni Unite, [http://unstats.un.org/unsd/sna1993/introduction.asp System of National Accounts 1993] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080706174302/http://unstats.un.org/unsd/sna1993/introduction.asp |data=6 luglio 2008 }}.</ref> e [[Sec95]]<ref>Il Sec95 richiede che i conti nazionali siano derivati da uno schema intersettoriale e che sia garantita completa coerenza fra gli aggregati della contabilità nazionale e le tavole delle risorse e degli impieghi. Cfr. ISTAT, [http://www.istat.it/dati/dataset/20061023_00/nota_metodologica.pdf Le tavole delle risorse e degli impieghi e la loro trasformazione in tavole simmetriche. Nota metodologica] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070117122213/http://www.istat.it/dati/dataset/20061023_00/nota_metodologica.pdf |date=17 gennaio 2007 }}, ottobre 2006, pag. 2.</ref>, nella contabilità nazionale di molti paesi.

Le matrici rettangolari sono asimmetriche in quanto sono matrici prodotto per branca (le righe si riferiscono ai prodotti, le colonne alle branche di attività economica, eventualmente aggregate in settori). Ciò consente di tenere conto delle cosiddette «produzioni secondarie». Nei modelli di Leontief prodotti e branche coincidono (l'output dell'agricoltura comprende solo prodotti agricoli, quello dell'industria solo prodotti industriali, ecc.), mentre nelle matrici di Stone in ogni colonna vi sono i prodotti di ciascuna branca/settore, sia quelli tipici che quelli secondari (per l'agricoltura possono esservi sia i prodotti agricoli in senso stretto, sia servizi come l'agriturismo).