Funzione omogenea: differenze tra le versioni

Versione delle 11:43, 15 giu 2021

Versione delle 12:04, 15 giu 2021

Riga 2:

In [[matematica]] si dice '''funzione omogenea''' di grado k una [[funzione (matematica)|funzione]] tale che quando si moltiplica per un certo numero α > 0 ogni sua variabile, il suo valore si calcola moltiplicando per α^k la funzione calcolata negli argomenti originari (cioè senza α).

Per esempio, se una funzione è omogenea di grado 1, quando tutti i suoi membri sono moltiplicati per un certo numero α > 0, il valore della funzione è moltiplicato per lo stesso numero α<math>\alpha</math>. Se <math>k=1</math> si parla di funzioni ''[[trasformazione lineare|linearmente]] omogenee''.

Le funzioni omogenee (in particolare i [[polinomio|polinomi]] omogenei) sono fondamentali in [[geometria algebrica]], poiché per definire il luogo degli zeri di un polinomio in uno [[spazio proiettivo]] occorre che tale insieme sia invariante rispetto al sistema di [[coordinate omogenee]] scelto. Ciò è garantito dai polinomi omogenei: infatti se per una certa scelta delle coordinate il polinomio si annulla nel punto, grazie alla proprietà di omogeneità si annullerà anche in ogni multiplo di tale punto, cioè in ogni altra possibile rappresentazione.

Riga 10:

In [[fisica]], le funzioni omogenee sono fondamentali per la [[teoria dei fenomeni critici]], in particolare per la [[teoria dello scaling]] e per il [[gruppo di rinormalizzazione]].

In [[termodinamica]] chimica sono funzioni omogenee di grado 1, le funzioni [[entropia]] <math>S(U,V,n<sub>in_i),</submath>), [[energia interna]] <math>U(S,V,n<sub>in_i),</submath>), [[entalpia]] <math>H(S,P,n<sub>in_i),</submath>), [[energia libera di Helmholtz]] <math>A(T,V,n<sub>in_i)</submath>) e [[energia libera di Gibbs]] <math>G(T,P,n<sub>in_i).</submath>).

== Definizione rigorosa di funzione omogenea ==

Se <math>\alpha, k \in \R</math> con <math>\ \alpha > 0 </math>, una [[funzione (matematica)|funzione]] <math>\ f(x_{1}, . . .\ldots, x_{n})</math> definita su un [[cono (algebra lineare)|cono]] di <math>\R^n</math> si dice '''funzione (positivamente) omogenea''' di grado <math>k</math> se per ogni scelta di variabili <math>x_1,...\ldots,x_n</math> si ha

: <math>\ f(\alpha x_{1}, . . .\ldots, \alpha x_{n})= {\alpha}^{k}f(x_{1}, . . .\ldots, x_{n}) .</math>

Si dice '''omogenea''' una funzione per cui la relazione sopra valga per ogni <math>\alpha</math>.

Se tutte le variabili sono nulle si ha ''necessariamente''

: <math>\ f(0, . . .\ldots, 0) = {\alpha}^{k}f(0, . . .\ldots, 0) = 0 .</math>

La funzione nulla è l'unica funzione omogenea di grado <math>k</math> per ogni <math>k</math> reale.

La definizione si può estendere, mantenendo identiche le notazioni, a [[funzionale|funzionali]] definiti in [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]] qualsiasi a valori nel rispettivo [[campo (matematica)|campo]]. Notare però che perché abbia senso parlare di funzioni positivamente omogenee, deve essere definita una nozione di ''"positività''" degli elementi del campo, cioè esso deve essere un [[campo ordinato]].

== [[Derivata]] di una funzione omogenea ==

Sia <math>\ f(x_{1}, . . .\ldots, x_{n}) </math> una funzione omogenea di grado <math>k</math> e parzialmente derivabile, allora vale la seguente proposizione:

* ''Ogni [[derivata parziale]] <math>\ f_{x_{i}} </math> con <math>\ i = 1, . . .\ldots, n </math> è una funzione omogenea di grado (<math>k - 1)</math>''

Dimostrazione:

Derivando rispetto alle <math>\ x_{i} </math> entrambi i membri dell'identità seguente

: <math>\ f(\alpha x_{1}, . . .\ldots, \alpha x_{n})= {\alpha}^{k}f(x_{1}, . . .\ldots, x_{n}) ,</math>

si ottiene

: <math>\ \alpha f_{x_{i}}(\alpha x_{1}, . . .\ldots, \alpha x_{n})= {\alpha}^{k}f_{x_{i}}(x_{1}, . . .\ldots, x_{n}) .</math>

Dividendo entrambi i membri per α<math>\alpha</math> si ottiene l'asserto

: <math>\ f_{x_{i}}(\alpha x_{1}, . . .\ldots, \alpha x_{n})= {\alpha}^{k-1}f_{x_{i}}(x_{1}, . . .\ldots, x_{n}) .</math>

== Teorema di [[Eulero]] sulle funzioni omogenee ==

Sia <math>f:\colon A\rightarrow\mathbb{R}</math> una [[funzione differenziabile]] su un cono [[insieme aperto|aperto]] <math>A\subset\R^n</math>. Allora <math>f</math> è omogenea di grado <math>k</math> su <math>A</math> se e solo se vale l'identità detta '''identità di Eulero''':

:<math> \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} x_{i} = k f(x), \quad\forall x \in A,</math>

il primo membro è esattamente il [[prodotto scalare]] <math>\langle \nabla f(x), x \rangle</math>.

Riga 50:

=== Dimostrazione ===

Applichiamo prima la sostituzione <math>\ {x'}_{i} = \alpha x_{i}</math> ottenendo

: <math>\ f({x'}_{1}, . . .\ldots, {x'}_{n})= {\alpha}^{k}f(x_{1}, . . .\ldots, x_{n}) .</math>

Differenziando ora rispetto ad α<math>\alpha</math>

: <math>\ \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial {x'}_{i}} \frac{\partial {x'}_{i}}{\partial \alpha} = k{\alpha}^{k-1}f(x_{1}, . . .\ldots, x_{n}) .</math>

Utilizziamo ora le derivate delle <math>\ {x'}_{i} </math>

: <math>\ \frac{\partial {x'}_{i}}{\partial \alpha} = x_{i} ,</math>

ottenendo

: <math>\ \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial {x'}_{i}} x_{i} = k{\alpha}^{k-1}f(x_{1}, . . .\ldots, x_{n}) ,</math> vera per ogni <math>\ \alpha > 0 .</math>

In particolare ponendo <math>\ \alpha = 1 </math> si ottiene

: <math>\ \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} x_{i} = kf(x_{1}, . . .\ldots, x_{n}) .</math>

=== Dimostrazione alternativa ===

Per <math>x \in A</math> consideriamo la funzione <math>F:]\colon (0, +\infty[) \rightarrow \mathbb{R}</math> definita da

:<math>F(t)=\frac {f(tx)} {t^k}.</math>

Si vede chiaramente che la funzione <math>f</math> è omogenea di grado <math>k</math> se e solo se la funzione <math>F</math> è costante ede uguale ada <math>f(x)</math> all'interno di tutto il suo dominio di definizione. Dal [[Teoremateorema di Lagrange]] ciò avviene se e solo se la derivata prima di <math>F(t)</math> è [[Funzione costante|identicamente nulla]] in tutto il suo dominio <math>](0, +\infty[)</math>. Per ipotesi <math>f</math> è differenziabile dunque vale il [[regola della catena|teorema di derivazione delle funzioni composte]] ede applicando la formula si ottiene:

:<math>F'(t) =\frac 1 {t^{2k}} \left[\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial {x_i}}(tx) x_i t^{k}-k t^{k-1} f(tx)\right]=

Riga 78:

Imponendo la condizione di funzione costante otteniamo:

:<math>\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial {x_i}}(tx) x_i t = k f(tx), \quad \forall x \in A, \forall t>0.</math>

Sfruttando la proprietà che <math>A</math> è un cono in <math>R^n</math> si ha che <math>x \in A </math> se e solo se <math>tx \in A, \forall t>0</math> dunque a patto di cambiare <math>x</math> con <math>tx</math> possiamo riscrivere la precedente condizione come:

:<math>\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial {x_i}}(x) x_i = k f(x), \quad \forall x \in A</math>

che altro non è che l'identità di Eulero.