Una varietà di dimensione <math> n </math> è spesso chiamata brevemente '''<math>n</math>'''''-varietà''. Si definiscono ''curve'' le <math>1</math>-varietà e ''superfici'' le <math>2</math>-varietà.
Nella definizione si può richiedere, equivalentemente, che <math>X</math> sia localmente omeomorfo ad un aperto di <math> \R^n </math>. Se <math>\varphi:U\longrightarrowrightarrow V</math> è un omeomorfismo fra un aperto di <math> X </math> e un aperto di <math> \R^n </math>, allora la coppia <math>(U,\varphi) </math> è chiamata '''carta'''. Quindi se <math> X </math> è una varietà topologica allora esiste una famiglia di carte <math>\mathcal U= \{ ( U_{\alpha}, \varphi_\alpha ) \}_{\alpha \in A}</math> che ricoprono <math> X </math>, ovvero tali che <blockquote><math>X=\bigcup_{\alpha \in A}U_\alpha </math></blockquote>Una tale famiglia di carte si definisce un [[atlante (topologia)|atlante]]. I nomi "carta" e "atlante" sono scelti in analogia con la [[cartografia]]. Infatti la [[superficie della Terra]] non è descrivibile interamente su un foglio (nel senso che non è omeomorfa ad un aperto di <math> \R^2 </math>), però è possibile descriverla "a pezzi" tramite un certo numero di carte geografiche: ad esempio, con due carte che descrivono gli emisferi [[emisfero nord|Nord]] e [[emisfero sud|Sud]].
Se <math>( U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})</math> e <math>( U_{\beta}, \varphi_{\beta})</math> sono due carte tali che <math>U_{\alpha} \cap U_{\beta} \neq \emptyset</math>, allora la mappa <blockquote><math>\begin{matrix}
