Energia cinetica: differenze tra le versioni

Versione delle 16:50, 31 mag 2021

Versione delle 14:30, 28 set 2021

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Introduciamo l'energia cinetica

:<math> E_cE_{\mathrm c}(v^2) = \frac{m}{2} v^2 </math>

che a questo punto ha una forma diversa rispetto a quella solitamente usata: la differenza discende dalla nuova forma che assume la velocità, che sebbene sia come al solito definita da

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:<math> \begin{align}

(E_cE_{\mathrm c}) & = \frac{m}{2} \langle \mathbf v \, , \mathbf v \rangle = \\

& = \frac{m}{2} \left\{ \left \langle \sum_{i = 1}^n \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial q_i} \cdot \dot{q}_i \, , \sum_{j = 1}^n \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial q_j} \cdot \dot{q}_j \right \rangle + 2 \left \langle \sum_{i = 1}^n \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial q_i} \cdot \dot{q}_i \, , \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial t} \right \rangle + \left \langle \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial t} , \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial t} \right \rangle \right\} = \\

& = \frac{m}{2} \left\{ \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n \dot{q}_i \left \langle \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial q_i} , \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial q_j} \right \rangle \dot{q}_j + 2 \sum_{i = 1}^n \left \langle \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial q_i} , \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial t} \right \rangle \dot{q}_i + \left \| \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial t} \right \|^2 \right\} = \\

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Abbiamo così ottenuto una [[forma quadratica]] operando le sostituzioni

:<math> H_{ij} (E_cE_{\mathrm c})_{(0)} = \frac{m}{2} \left \langle \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial q_i} , \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial q_j} \right \rangle \, , \nabla_i (E_cE_{\mathrm c})_{(0)} = m \left \langle \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial q_i} , \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial t} \right \rangle \, , \quad (E_c)_{(0)} = \frac{m}{2} \left \| \frac{\partial \mathbf{ x}}{\partial t} \right \|^2 \, . </math>

Il risultato è davvero notevole se si pensa alla generalità da cui si è partiti nella trattazione: è bastato fornire alcune condizioni di regolarità (di norma verificate nel caso di condizioni fisiche) per ottenere una formula che amplia quella di uso comune. Nel caso in cui si tratti di particella libera, perciò, possiamo scrivere immediatamente la [[lagrangiana]]:

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<math> (\mathbf F = \nabla U = 0 \rightarrow U(q_i) = U )</math>

:<math> \mathcal L = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n \dot{q}_i \, H_{ij} (E_c)_{(0)} \, \dot{q}_j + \, \sum_{i = 1}^n \nabla_i (E_cE_{\mathrm c})_{(0)} \, \dot{q}_i + ( (E_c)_{(0)} - U) \,= \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n \dot{q}_i \, H_{ij} (E_cE_{\mathrm c})_{(0)} \, \dot{q}_j + \, \sum_{i = 1}^n \nabla_i (E_cE_{\mathrm c})_{(0)} \, \dot{q}_i + (E_cE_{\mathrm c})_{(0)}\, </math>

mentre l'eventuale presenza di [[energia potenziale]] <math> U(q_i) </math> dipendente dalla sola posizione, non fa altro che aggiungere un termine:

:<math> \mathcal L = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n \dot{q}_i \, H_{ij} (E_cE_{\mathrm c})_{(0)} \, \dot{q}_j + \, \sum_{i = 1}^n \nabla_i (E_cE_{\mathrm c})_{(0)} \, \dot{q}_i + (E_cE_{\mathrm c})_{(0)} - U(q_i)\, .</math>

Un'altra caratteristica interessante discende dal considerare cambiamenti di coordinate indipendenti dal tempo: in questi casi l'energia cinetica diventa semplicemente un caso particolare di quella già trovata sopra

:<math> T = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n \dot{q}_i \, H_{ij} (E_cE_{\mathrm c})_{(0)} \, \dot{q}_j \, , </math>

ma dato che i [[versore|versori coordinati]] dello spazio delle configurazioni sono per definizione

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:<math> \mathbf e_i = \frac{\partial \mathbf x}{\partial q_i} \, , \; \forall \, i = 1,2,\ldots,n \, , </math>

i coefficienti <math> H_{ij} (E_cE_{\mathrm c})_{(0)} </math> costituiscono una [[matrice|matrice quadrata]] che rappresenta il prodotto scalare rispetto alla [[base (algebra lineare)|base coordinata]] scelta.

La naturale estensione a un sistema costituito da più punti viene eseguita assegnando a ognuno di essi un vettore velocità e un vettore posizione: quindi per <math> k </math> particelle libere vengono prodotti <math> 2k </math> vettori, ciascuno di <math> n </math> coordinate e poi si procede come si è fatto per la particella singola, ottenendo il risultato che l'energia cinetica totale è la somma delle energie cinetiche delle singole particelle:

:<math> T = \sum_{i = 1}^k (E_cE_{\mathrm c})_i \, . </math>

== Meccanica relativistica ==