Logica modale: differenze tra le versioni

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Versione delle 21:18, 3 gen 2022

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== Definizione degli operatori ==

:<math>\Box p \leftrightarrow \lnot \Diamond \lnot p</math>, non è una equivalenza fra i due membri, in cui sarebbe corretto sostituire al simbolo <math>\leftrightarrow </math>, quello di uguaglianza, se si guarda alla definizione comune di "necessario", che corrisponde a: ''ciò che è vero '''e''' che non può essere altrimenti'' (di cui non è possibile il contrario).<br> In simboli:<br/>

:<math>\Box p = p \land \lnot \Diamond \lnot p</math>. <br/>

Questa definizione dell'operatore di necessità, contiene l'assioma di necessità secondo cui: ''tutto ciò che è necessariamente vero, dovrebbe essere vero''.<br> In simboli:<br/>

:<math>\Box p \rightarrow p</math>, che è poi l'assioma T di cui si parla nel seguito. La definizione non è valida per le modalità deontiche. Infatti, per l'operatore di necessità, abbiamo due assiomi (vedi sotto), T (più diffuso nei sistemi modali) e D, in cui: la necessità implica la realtà, oppure la sola possibilità di un predicato.

In simboli:<br />

Per l'altro operatore di possibilità, [[Alfred Tarski]] definisce possibile tutto ciò che non è auto-contraddittorio, cioè: per cui vale la legge di non-contraddizione e del terzo escluso, in simboli:

:<math>\Box p \rightarrow p</math>, che è poi l'assioma T di cui si parla nel seguito. La definizione non è valida per le modalità deontiche. Infatti, per l'operatore di necessità, abbiamo due assiomi (vedi sotto), T (più diffuso nei sistemi modali) e D, in cui: ''la necessità implica la realtà, oppure la sola possibilità di un predicato''.

Per l'altro operatore di possibilità, [[Alfred Tarski]] definisce possibile tutto ciò che non è auto-contraddittorio, cioè: ''per cui vale la legge di non-contraddizione e del terzo escluso, in simboli:''.

In simboli:

:<math>\Diamond p = \lnot \lnot p \rightarrow p.</math>

Vale sempre la modalità ''ab esse ad posse'', secondo cui la realtà di un predicato implica sempre la sua possibilità:<br/>

:<math> p \rightarrow \Diamond p;</math>,
:assioma di possibilità il quale afferma che tutto ciò che è vero, è possibile; in genere non è esplicitato nei sistemi modali.

== Storia ==

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Tali studi ebbero ampi sviluppi nel [[Medioevo]] nell'ambito della [[Scolastica (filosofia)|filosofia Scolastica]], in particolare ad opera di [[Guglielmo di Ockham]]. Risale a questa tradizione la qualificazione di ''modale'' per le espressioni che indicano il modo in cui una proposizione è vera.

La logica modale moderna nasce con le assiomatizzazioni datene nel 1932 da C. I. Lewis nel libro ''Symbolic Logic'', scritto con C. H. Langford. L'introduzione di queste assiomatizzazioni era rivolta alla soluzione dei paradossi dell'[[implicazione logica]] o materiale, come il fatto che una proposizione falsa implichi qualsiasi proposizione (''[[Ex falso sequitur quodlibet]]'') o che una proposizione vera sia implicata da qualsiasi proposizione. Lewis volle allora introdurre il concetto di ''implicazione stretta'', dove "''p implica strettamente q"'' significa "''non è possibile che p sia vero e q sia falso"'' (in simboli <math>\lnot \Diamond (p \land \lnot q)</math>, equivalente a <math>\Box(p \rightarrow q)</math>). I diversi insiemi di assiomi utilizzati da Lewis per descrivere l'implicazione stretta condussero a cinque sistemi noti come S1 - S5, di cui attualmente solo S4 e S5 sono utilizzati. L'implicazione stretta ha rappresentato una soluzione parziale ai due paradossi delle implicazioni materiali citati.<ref>{{cita libro|autore= Pasquale De Luca|url=https://books.google.it/books?id=oV71CgAAQBAJ&pg=PT204&lpg=PT204|pagina=204|titolo=Da Pitagora al mostro di Firenze|editore=Giuffrè|isbn=9788814169724|oclc=8622712544|anno=2011|serie=Diritto e rovescio. Nuova serie|città=Milano}} Citazione: ''"Benchè risolva questi paradossi ne lascia aperti altri analoghi, [...] Con l'implicazione stretta i paradossi classici risultano sostanzialmente riformulati in termini modali e sopravvivono sotto mutate spoglie.''</ref>

Si consideri l'esempio: "i cittadini pagano le tasse", e gli enunciati modali "necessariamente i cittadini pagano le tasse", "si sa che i cittadini pagano le tasse", "credo che i cittadini paghino le tasse", mentre posso stabilire con certezza che "è possibile che i cittadini paghino le tasse" (dato che già avviene).

Eccetto l'operatore di possibilità quando si parte da una situazione vera o necessaria, gli operatori della logica modale non sono vero-funzionali: diversamente dai connettivi logici booleani (congiunzione, disgiunzione, implicazione, ecc.), per gli operatori modali non si può costruire una [[tabella della verità]] perché il valore di verità dipende ''ma non esclusivamente'' da quello degli enunciati semplici componenti, e in genere il fattore aggiuntivo è il valore di verità di quell'enunciato rispetto a situazioni alternative a quella reale.

Nel 1959 [[Saul Kripke]] definì una semantica per le logiche modali basata sul concetto di ''mondi possibili'' e sulla relazione di accessibilità tra mondi. Riuscì a costruire le tavole di verità per gli operatori di possibilità e necessità. In base a tale semantica, la proposizione "È necessario ''p''" è vera in un mondo ''w'' se è vera in tutti i mondi ''v'' accessibili da ''w''. L'introduzione di tale semantica ha dato inizio agli studi attuali sulle logiche modali. In simboli, abbiamo le definizioni di verità (valori 1 oppure 0) dei due operatori, proposte da Carnap in ''In Meaning and Necessity'':

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Poiché gli operatori modali non sono vero-funzionali, è emersa la necessità di un loro sviluppo sintattico.

Come afferma [[Lorenzo Magnani]], nell'ambito della ''computer science'', ad esempio, ha insegnato alle macchine come imitare ragionamenti umani molto complessi<ref>[http://www.raiscuola.rai.it/lezione-embed/logica/4298/default.aspx ''Magnani: logica e possibilità'']</ref>, ad esempio con la [[bisimulazione]], cioè modelli di Kripke che usano un [[Sistema a transizione di stati]] al posto dei mondi possibili, per decidere la correttezza e la terminazione con successo di un programma informatico<ref name=":0">[https://plato.stanford.edu/entries/logic-modal/#DeoLog James Garson, ''Modal Logic''], su ''Stanford Encyclopedia of Philosophy'', First published Tue Feb 29, 2000; substantive revision Tue May 27, 2014</ref>.<br />

Nel 2020, nell'applicazione del calcolo proposizionale, sono noti elaboratori capaci di validare una dimostrazione di logica formale completa di tutti i passi logici, regole di calcolo applicate e relative assunzioni, ma non sono noti elaboratori capaci di elaborare autonomamente una dimostrazione, intesa come derivazione di una conclusione a partire da un insieme di una o più [[formula ben formata|formule ben formuteformate]] assunte come premesse. In altre parole, l'elaboratore meccanico, elettronico o meccatronico è a posteriori in grado di confermare la correttezza o non correttezza di una dimostrazione eseguita da agenti umani, ma non è capace di eseguire una dimostrazione in modo tale da sostituirsi o superare l'operatore umano in tale tipo di ragionamento logico deduttivo.<ref>Edward J. Lemmon, ''Elementi di logica con gli esercizi risolti'', Giuseppe Laterza editore, cap. 1-''La logica proposizionale'', p. 43, ISBN 978-88-420-2772-0. Citazione: ''I calcoli aritmetici possono essere generati oltre che controllati, meccanicamente, mentre fin qui non abbiamo trovato alcun modo meccanico di generare prove - anche se, una volta scoperte, una macchina potrebbe certamente verificarne la validità.''</ref> Tale possibilità non è però stata esclusa a livello teoretico, data l'assimilazione della logica proposizionale al calcolo matematico numerico e letterale, già eseguito dagli elaboratori, e data la similitudine fra il formalismo di quest'ultima e quello della logica matematica.

== Modalità aletiche ==

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È il senso più debole, in quanto pressoché qualsiasi cosa intelligibile è logicamente possibile: gli asini possono volare, Socrate può essere immortale e la teoria atomica della materia può essere falsa.

Alla stessa maniera, pressoché nulla è logicamente impossibile:; una cosa logicamente impossibile è chiamata ''contraddizione''. È possibile che Socrate sia immortale, ma non è possibile che Socrate sia mortale e immortale. Molti logici ritengono che le verità matematiche siano logicamente necessarie (ad esempio è logicamente impossibile che 2+2 ≠ 4).

=== Possibilità fisica ===

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I filosofi possono prendere in considerazione le proprietà che gli oggetti hanno indipendentemente dalle leggi della natura. Ad esempio, potrebbe essere metafisicamente necessario che qualsiasi ente pensante abbia un corpo e possa avere esperienza del passaggio del tempo, o che Dio esista (o non esista).

La possibilità metafisica è generalmente ritenuta più forte di quella logica, nel senso che ci sono meno cose metafisicamente possibili di quante ce ne siano logicamente. È invece materia di dibattito filosofico il rapporto con la possibilità fisica, e il fatto se le verità metafisicamente necessarie siano tali "per definizione" o perché riflettono qualche fatto rilevante sulla realtà.

e il fatto se le verità metafisicamente necessarie siano tali "per definizione" o perché riflettono qualche fatto rilevante sulla realtà.

== Modalità epistemiche ==

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[[Bertrand Russell]], [[Willard Van Orman Quine]], e John C. Smart proposero un approccio di de-temporalizzazione per ricondurre le proposizioni in modalità temporale al caso della logica classica, che è atemporale. Ogni proposizione temporale, passata o futura, ha una data sottintesa che deve essere esplicitata, dopodiché diventa indipendente dal tempo: atemporale e trattabile quindi con la logica classica, vale a dire omnitemporalmente vera o falsa. Ma non per tutte le proposizioni (si pensi a quelle future che devono ancora accadere) è possibile esplicitare una data ''nota'' che le renda atemporali.

Con l'approccio opposto di temporalizzazione abbiamo il calcolo logico effettuato con l'uso della logica classica e l'aggiunta di nuovi assiomi ed operatori temporali, che possono essere combinati tra loro. Con la temporalizzazione, la logica è polivalente (almeno trivalente, con tre possibili valori di verità), cioè valgono i principi di identità e non-contraddizione, ma non del terzo escluso: quindi, abbiamo valori di verità intermedi fra vero e falso; es. 1 (vero) , 0 (falso) , ½ (indefinito).

Nella più studiata delle logiche multimodali, la logica dei tempi verbali, dovuta a [[Arthur Prior|Arthur N. Prior]] (1951)<ref>[[Arthur Norman Prior]], ''Time and modality'', Clarendon Press, Oxford, 1957.</ref>, abbiamo i due operatori di necessità e possibilità cui Prior aggiunge altri quattro operatori per le modalità temporali: gli operatori primitivi sono H e G, da leggere 'sempre in passato' (passato forte) e 'sempre in futuro' (futuro forte), mentre i loro duali sono P e F, ossia 'qualche volta in passato' (o anche 'è stato vero che', passato debole) e 'qualche volta in futuro' (o anche 'sarà vero che', futuro debole). La logica di Prior è un'estensione della logica classica, perché in essa le proposizioni atemporali sono trattate come casi particolari delle proposizioni temporali, sebbene verrebbe più naturale pensare il contrario, cioè che le frasi temporali vere o false in relazione a una singola data siano casi particolari rispetto a frasi vere o false in ogni tempo.

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== Definizione di mondo possibile ==

La semantica formale di Tarski formalizza la semantica classica, e considera la verità delle formule come riguardante lo stato di cose di un unico mondo attuale. La semantica relazionale di Kripke è un'evoluzione della semantica formale di Tarski, in cui la verità viene a dipendere da stati di cose in mondi alternativi a quello attuale (i mondi possibili, accessibili da quello attuale), con queste interpretazioni:

* Nella metafisica e teologia naturale, —ee questo è il senso più antico del termine che risale a [[Leibniz]]—, la nozione può essere interpretata per formalizzare universi alternativi all'attuale, ma che Dio era libero di creare.

* Nelle scienze fisiche i mondi possibili possono, per esempio, rappresentare diversi stadi evolutivi dell'universo passati o futuri rispetto all'attuale, oppure possibili evoluzioni dell'universo compatibili con le stesse condizioni iniziali, ma mai realizzati.

* Nelle scienze biologiche possono rappresentare diversi processi evolutivi o stadi evolutivi della materia biologica distinti da quelli attualmente vigenti, ma ugualmente compatibili.

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* In epistemologia, possono essere interpretati come distinte rappresentazioni del mondo attuale.<ref>''LOGICA II: LOGICHE MODALI E INTENSIONALI Parte IV: Cenni di logica modale e di logiche intensionali'', Pontificia Università Lateranense, Roma, 2008, corso 50609</ref>

Kripke assume che i nomi sono dei «designatori rigidi», ovvero designano lo stesso individuo in tutti i mondi possibili contemplati dalla struttura-modello (sebbene possano designare individui differenti nei mondi di altre strutture modello). I predicati, e con essi gli enunciati atomici, cambiano valore semantico da un mondo all'altro, in modo da poter rappresentare il fatto che certi oggetti potrebbero soddisfare predicati diversi da quelli che soddisfano nel mondo attuale. Il fatto che dal punto di vista logico non siamo tenuti ad adottare una in particolare fra le infinite strutture-modello a disposizione dalla teoria, evita di perdersi in considerazioni metafisiche su quale sìa la migliore mappa della realtà e delle sue alternative possibili<ref>[[Achille C. Varzi]], ''Kripke: modalità e verità'', in ''Il genio compreso. La filosofia di Saul Kripke'' a cura di A. Borghini, Roma, Carocci Editore, 2010, pp. 23–78, 186–191</ref>.

Kripke assume che i nomi sono dei «designatori rigidi», ovvero designano lo stesso individuo

in tutti i mondi possibili contemplati dalla struttura-modello (sebbene possano designare individui differenti nei mondi di altre strutture modello). I predicati, e con essi gli enunciati atomici, cambiano valore semantico da un mondo all'altro, in modo da poter rappresentare il fatto che certi oggetti potrebbero soddisfare predicati diversi da quelli che soddisfano nel mondo attuale. Il fatto che dal punto di vista logico non siamo tenuti ad adottare una in particolare fra le infinite strutture-modello a disposizione dalla teoria, evita di perdersi in considerazioni metafisiche su quale sìa la migliore mappa della realtà e delle sue alternative possibili<ref>[[Achille C. Varzi]], ''Kripke: modalità e verità'', in ''Il genio compreso. La filosofia di Saul Kripke'' a cura di A. Borghini, Roma, Carocci Editore, 2010, pp. 23–78, 186–191</ref>.

Ugualmente la relazione di accessibilità fra mondi possibili può essere interpretata con i tipi di relazioni fra oggetti nelle diverse teorie (causali in fisica e metafisica, legali in logica, giuridiche in diritto, etcecc.), e portare a una teoria unificata delle varie semantiche per i sistemi di logica aletica, deontica ed epistemica, e ad una loro unica semplice rappresentazione tramite grafo orientato.

La relazione del mondo di partenza con gli altri mondi da questo accessibili, è di tipo euclideo, vale cioè la proprietà transitiva (a seconda del sistema formale scelto, se vale l'assioma '''T''' oppure '''D''' è anche simmetrica o asimmetrica; mai riflessiva):; se da u si accede a v, e se sempre da u si accede a w, ciò implica che da v si accede a w, cioè che i mondi possibili sono tutti in relazione tra loro. Si dimostra che poiché la relazione dal mondo di partenza è euclidea-transitiva, quelle tra i mondi possibili godono tutte di una riflessività e simmetricità (e transitività) secondaria.

== Assiomatizzazioni ==

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Nei sistemi "misti" aletico-deontici tipo '''KD''' in cui si usa una particolare versione dell'assioma '''D(KQ)''', grazie a '''Q''' è possibile isolare il mondo attuale ''u'' in cui, grazie all'assioma '''T ''' valgono le necessitazioni ontiche (fisiche/metafisiche), da una particolare sottoclasse dei mondi possibili con cui è in relazione, quella dei “mondi buoni” in cui, cioè, gli obblighi deontici sono realtà.

Se la relazione di accessibilità tra mondo attuale e altri mondi '''R''' nel sistema formale '''KD''' è seriale, ad ogni mondo segue almeno un'alternativa deontica che non è mai realizzata nel mondo di partenza (altrimenti varrebbe l'assioma '''T'''), cioè esiste almeno un mondo possibile in cui è realizzato ciò che nel mondo attuale è solo doveroso. Partendo da un certo mondo possibile preso come situazione iniziale, la struttura di '''KD''' e in particolare il carattere seriale della relazione di accessibilità, configura un modello avente il carattere di '''progetto pratico o morale''', in cui ogni avanzamento avviene nella direzione di un maggiore perfezionamento.

In '''KD4''', con l'aggiunta dell'assioma '''4''', in base al quale p→p, ciò che è obbligatorio ad uno stadio del progetto rimane tale nell'evoluzione successiva e non può mai decadere (cumulatività degli obblighi). In '''KD5''' abbiamo la conservazione e cumulatività dei permessi, e si dimostra che non può esservi incremento dei permessi (dimostrazione valida anche per i permessi in KD4).

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In '''KD45''', designato anche come '''S5''' deontico, tanto gli obblighi che i permessi sono perciò conservati e non incrementati. La relazione '''R''' fra mondo attuale e tutti gli altri mondi è transitiva, asimmetrica, non riflessiva, euclidea: grazie al fatto che è euclidea, sono simmetriche, riflessive, transitive le relazioni esistenti fra tutti gli altri mondi di '''S5 secondario'''. Con l'evolversi del progetto deontico iniziale (vale a dire il mondo attuale), in ognuno dei mondi possibili obblighi e permessi si cumulano, mantengono un completo equilibrio diritti-doveri, vigono rigorosamente le stesse regole deontiche e in ognuno di essi (stante la relazione riflessiva xRx che tutti li caratterizza) sono realizzate (sono tutti cioè mondi buoni). La relazione asimmetrica dei mondi possibili con quello iniziale u, equivale a dire che nulla di ciò che appartiene ad essi può in alcun modo determinare u.

'''KD45''' è anche il sistema-base anche delle logiche epistemiche del “sapere fondato”, in cui il mondo di partenza è quello reale, e gli altri mondi accessibili sono interpretati come le possibili rappresentazioni date da noi al mondo reale:; dal mondo reale sono "causate", senza che valga il contrario, che si possa dire che la realtà oggettiva può cambiare in qualche modo perché noi ne abbiamo dato una qualche rappresentazione.

== Sistemi formali con regole di calcolo non-modali ==

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Il fatto che una legge logica A (che si può anche chiamare "teorema") abbia una tavola di verità sempre vera, a prescindere dalle variabili, vale a dire che sia sempre una tautologia, non implica che si sappia o si creda che sia una tautologia (potrebbe essere di forma estremamente complessa), e nemmeno che si sappia o si creda che A sia vera: per cui è naturale pensare che la mancanza della regola R debba essere condivisa anche da certe logiche modali non aletiche.

Kripke suggeriva di classificare i mondi possibili inclusi accessibili da quello preso a riferimento (W) in due categorie disgiunte: i mondi «normali» N e quelli «non normali» (nei quali, per esempio, la regola R e l'onniscienza logica non vige), e concentrare sui primi la struttura-modello. Formulando opportune condizioni sulla relazione R e sulla composizione di N, Kripke dimostrava la completezza di una varietà di logiche più deboli di K: E2 risulta completa rispetto alla classe di tutte le strutture-modello, mentre E3, S2 e S3 risultano complete nelle classi di strutture- modello in cui, rispettivamente, R è transitiva, N contiene α, e R è transitiva e N contiene la variabile individuale α.

== Note ==