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Il GLM è composto da tre elementi<ref>{{Cita web|url=https://online.stat.psu.edu/stat504/node/216/|titolo=6.1 - Introduction to Generalized Linear Models {{!}} STAT 504|sito=online.stat.psu.edu|accesso=2020-11-01}}</ref>:
# La funzione di distribuzione ''f'', facente parte della famiglia esponenziale
# Il predittore lineare ''η'' = '''X''β''''' .
# Una funzione ''g'', detta "link"di collegamento, tale che E('''Y''') = '''μ''' = ''g''<sup>−1</sup>(''η'').
=== Distribuzione della probabilità ===
Una '''famiglia esponenziale iperdispersa''' di distribuzioni è una generalizzazione di una famiglia esponenziale e il [[modello di dispersione esponenziale]] di distribuzioni e include quelle famiglie di distribuzioni di probabilità,parameterized bycon parametri <math>\boldsymbol\theta</math> ande <math>\tau</math>, mentre la densitàfunzione di funzionedensità ''f'', per il caso di una [[distribuzione discreta]]) può essere espressoespressa nella forma:
:<math> f_Y(\mathbf{y} \mid \boldsymbol\theta, \tau) = h(\mathbf{y},\tau) \exp \left(\frac{\mathbf{b}(\boldsymbol\theta)^{\rm T}\mathbf{T}(\mathbf{y}) - A(\boldsymbol\theta)} {d(\tau)} \right).</math>
Il ''parametro di dispersione'', <math>\tau</math>, tipicamente è noto ed è solitamente correlato alla varianza della distribuzione. Le La funzionefunzioni <math>h(\mathbf{y},\tau)</math>, <math>\mathbf{b}(\boldsymbol\theta)</math>, <math>\mathbf{T}(\mathbf{y})</math>, <math>A(\boldsymbol\theta)</math>, e <math>d(\tau)</math> sono conosciute. Molte distribuzioni comuni sonoappartengono ina questa famiglia, tra cui la normale, l'esponenziale, la gamma, la Poisson, la Bernoulli e (per un numero fisso di prove) la binomiale, la multinomiale e la binomiale negativonegativa.
PerNel locaso in scalarecui <math>\mathbf{y}</math> e <math>\boldsymbol\theta</math> (chiamatisiano dei semplici scalari <math>y</math> e <math>\theta</math> in questo caso), il modello diventa:
:<math> f_Y(y \mid \theta, \tau) = h(y,\tau) \exp \left(\frac{b(\theta)T(y) - A(\theta)}{d(\tau)} \right).</math>
Il parametro <math>\boldsymbol\theta</math> è correlato alla media della distribuzione. Se <math>\mathbf{b}(\boldsymbol\theta)</math> è la funzione di identità, quindi si dicesuol dire che la distribuzione siaè nella [[forma canonica]] (o ''forma naturale''). NotaSi noti che qualsiasi distribuzione può essere convertita in forma canonica mediante riscritturala sostituzione di <math>\boldsymbol\theta</math> ascon <math>\boldsymbol\theta'</math> eper quindimezzo applicare ladella trasformazione <math>\boldsymbol\theta = \mathbf{b}(\boldsymbol\theta')</math>. È sempre possibile convertire <math>A(\boldsymbol\theta)</math> in termini didel nuovanuovo parametrizzazioneparametro <math>\boldsymbol\theta'</math>, anche se <math>\mathbf{b}(\boldsymbol\theta')</math> non è una [[funzione uno a unoinvertibile]]. Se in aggiuntainoltre, <math>\mathbf{T}(\mathbf{y})</math> è l'identità e <math>\tau</math> è conosciuto, allora <math>\boldsymbol\theta</math> è conosciuto comedetto '' parametro canonico'' (o parametro naturale) ed è correlato alalla mezzomedia dalla attraversorelazione
:<math> \boldsymbol\mu = \operatorname{E}(\mathbf{yY}) = \nabla A(\boldsymbol\theta).</math>
== Note ==
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