Funzione omogenea: differenze tra le versioni

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Versione delle 23:55, 1 dic 2007

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In [[matematica]] si dice '''funzione omogenea''' di grado k una [[funzione (matematica)|funzione]] tale che quando si moltiplica per un certo numero <math>t > 0</math> ogni sua variabile, il suo valore si calcola moltiplicando per <math>t^k</math> la funzione calcolata negli argomenti originari (cioè senza <math>t</math>).

Per esempio, se una funzione è omogenea di grado 1, quando tutti i suoi membri sono moltiplicati per un certo numero <math>t > 0</math>, il valore della funzione è moltiplicato per lo stesso numero t. Se k=1 si parla di funzioni ''[[trasformazione lineare|linearmente]] omogenee''.

Le funzioni omogenee (in particolare i [[polinomio|polinomi]] omogenei) sono fondamentali in [[geometria algebrica]], poiché per definire il luogo degli zeri di un polinomio in uno [[spazio proiettivo]] occorre che tale insieme sia invariante rispetto al sistema di [[coordinate omogenee]] scelto. Ciò è garantito dai polinomi omogenei: infatti se per una certa scelta delle coordinate il polinomio si annulla nel punto, grazie alla proprietà di omogeneità si annullerà anche in ogni multiplo di tale punto, cioè in ogni altra possibile rappresentazione.

Questo concetto ha fruttuose applicazioni in [[economia]], visto che molte [[funzione di produzione|funzioni di produzione]] sono omogenee di grado 1 (cioè hanno [[rendimenti di scala]] costanti). Supponiamo invece che un consumatore scelga i beni da acquistare a seconda del reddito e dei prezzi a scelta tra tutti i [[paniere]] che si può permettere, e a seconda delle sue preferenze. Possiamo dunque vederla (la domanda) come una funzione dei prezzi e del suo reddito. Possiamo dimostrare che questa funzione è omogenea di grado 0: se tutti i prezzi e il reddito vengono moltiplicati per <math>k>0</math>, la sua domanda di beni resta la stessa (legge di omogeneità, in assenza di [[illusione monetaria]]).

Questo concetto ha fruttuose applicazioni anche in [[economia]], visto che molte [[funzione di produzione|funzioni di produzione]] sono omogenee di grado 1 (cioè hanno [[rendimenti di scala]] costanti). Supponiamo invece che un consumatore scelga i beni da acquistare a seconda del reddito e dei prezzi a scelta tra tutti i [[paniere]] che si può permettere, e a seconda delle sue preferenze. Possiamo dunque vederla (la domanda) come una funzione dei prezzi e del suo reddito. Possiamo dimostrare che questa funzione è omogenea di grado 0: se tutti i prezzi e il reddito vengono moltiplicati per <math>k>0</math>, la sua domanda di beni resta la stessa (legge di omogeneità, in assenza di [[illusione monetaria]]).

== Definizione rigorosa di funzione omogenea ==

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: <math>\ f(0, . . ., 0) = {\alpha}^{k}f(0, . . ., 0) = 0 </math>

La funzione nulla è l'unica funzione omogenea di grado <math>k</math> ''per ogni k'' reale.

La definizione si può estendere, mantenendo identiche le notazioni, a funzioni[[funzionale|funzionali]] definitedefiniti in [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]] qualsiasi a valori nel rispettivo [[campo (matematica)|campo]]. Notare però che perché abbia senso parlare di funzioni positivamente omogenee, deve essere definita una nozione di ''positività'' degli elementi del campo, cioè esso deve essere un [[campo ordinato]].

== [[Derivata]] di una funzione omogenea ==