Total factor productivity: differenze tra le versioni
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:<math>\ T(Y,X,M_M,A) = 0</math>
in cui il valore dei beni e servizi finali prodotti nel sistema (Y) risulta funzione degli input primari (lavoro, capitale, risorse naturali,...), degli input intermedi importati (M<sub>M</sub>) e del parametro A, la tecnologia, che indica lo spostamento della funzione nel tempo. Il tasso di crescita della TFP aggregata sarà quindi dato da:
:(1) <math>\ \frac{d \log A}{d t} = \frac{d \log Y}{d t} - \left ( \frac{P_X X}{P_Y Y} \frac{d \log X}{d t} + \frac{P_{M_M} M_M}{P_Y Y} \frac{d \log M_M}{d t} \right )</math>.
A livello settoriale si assume quindi una [[funzione di produzione]] del tipo:
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:<math>\ P_i Q_i = P_i Y_i + \sum_{j=1}^n P_i Q_{ij}</math>
dove Q<sub>ij</sub> è l'output dell'industria i che entra nella produzione del settore j. Dalla relazione precedente segue che:
:<math>\ \frac{d \log Y_i}{d t} = \frac{P_i Q_i}{P_i Y_i} \left ( \frac{d \log Q_i}{d t} - \sum_{j=1}^n \frac{P_i Q_{ij}}{P_i Q_i} \frac{d \log Q_{ij}}{d t} \right )</math>.
Poiché i tassi di crescita dei valori aggregati di domanda finale, input primari e input intermedi importati sono esprimibili come [[media (statistica)|media ponderata]] dei tassi di crescita dei corrispondenti valori settoriali, sfruttando anche la precedente eguaglianza la (1) può essere riscritta come segue:
:<math>\ \frac{d \log A}{d t} = \sum_{i=1}^n \frac{P_i Q_i}{P_Y Y} \left ( \frac{d \log Q_i}{d t} - \sum_{j=1}^n \frac{P_i Q_{ij}}{P_i Q_i} \frac{d \log Q_{ij}}{d t} \right ) - \frac{P_X X}{P_Y Y} \sum_{i=1}^n \frac{P_{X_i} X_i}{P_X X} \frac{d \log X_i}{d t} - \frac{P_{M_M} M_M}{P_Y Y} \sum_{i=1}^n \frac{P_{M_{Mi}} M_{Mi}}{P_{M_M} M_M} \frac{d \log M_{M_i}}{d t}</math>.
==Critiche alla TFP==
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