Compressione dell'impulso: differenze tra le versioni

Versione delle 13:54, 21 set 2020

Versione delle 02:44, 13 apr 2022

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Determiniamo la gamma di risoluzione che può essere ottenuta con un simile segnale. Il segnale di ritorno, scritto <math>\scriptstyle r(t)</math>, è una copia attenuata e shiftata nel tempo del segnale originale (in realtà l'[[effetto doppler]] può giocare un ruolo rilevante se il ''target'' è in moto radiale rispetto al radar). C'è anche il [[rumore (elettronica)|rumore]] nel segnale entrante, sia nel [[canale (telecomunicazioni)|canale]] reale che in quello immaginario, e che assumeremo essere [[rumore bianco|bianco]] e [[distribuzione gaussiana|gaussiano]] (questa assunzione generalmente regge nella realtà); scriviamo <math>\scriptstyle B(t)</math> per denotare questo rumore. Per rilevare il segnale entrante che è misto al rumore viene solitamente usato un [[filtro adattato|filtraggio adattato]]. Questo metodo è ottimo quando un segnale noto deve essere rilevato immerso nel rumore additivo gaussiano.

In altre parole si calcola la [[cross-correlazione]] tra il segnale ricevuto corrotto da rumore con il segnale originariamente trasmesso. Questa correlazione si ottiene attraverso una [[convoluzione]] del segnale entrante r(t) con il complesso coniugato e ribaltato nel tempo del segnale trasmesso s(t). Questa operazione può essere fatta sia via [[software]] sia via [[hardware]]. Scriviamo <math>\scriptstyle <s,\,r>(t)</math> per questa correlazione. Abbiamo:

<div align="center"><math><s,r>(t) = \int_{t'\,=\,0}^{+\infty} s^\star(t')r(t+t') dt'</math></div>

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<div align="center"><math><s,r>(t) = KA^2\Lambda\left (\frac{t-t_r}{T} \right)e^{2 i \pi f_0 (t\,-\,t_r)} + B'(t)</math></div>

dove <math>\scriptstyle B'(t)</math>, il risultato dell'intercorrelazione tra il rumore e il segnale trasmesso, rimane un rumore bianco di caratteristiche uguali a <math>\scriptstyle B(t)</math> dal momento che non è correlato al segnale trasmesso. La funzione <math>\Lambda</math> è una funzione triangolo, il suo valore è 0 in <math>\scriptstyle [-\infty,\, -\frac{1}{2}] \,\cup\, [\frac{1}{2}, \,+\infty]</math>, esso aumenta linearmente in <math>\scriptstyle [-\frac{1}{2},\, 0]</math> dove raggiunge il suo massimo 1, e decresce linearmente in <math>\scriptstyle [0,\,\frac{1}{2}]</math> finché torna a 0 nuovamente. Le figure alla fine del paragrafo mostrano la forma dell'intercorrelazione per un segnale campionato (in rosso), in questo caso un seno reale troncato, di durata <math>\scriptstyle T\,=\,1</math> secondi, di ampiezza unitaria e frequenza <math>\scriptstyle f_0\,=\,10</math> hertz. Due echi (in blu) tornano indietro con un ritardo di 3 e 5 secondi rispettivamente e hanno un'ampiezza uguale a 0.5 e 0.3; questi sono già valori casuali per il ben dell'esempio. Dal momento che il segnale è reale, l'intercorrelazione è pesata da un fattore addizionale pari a <math>\scriptstyle \frac{1}{2}</math>.

Se due impulsi tornano indietro vicini nel tempo, l'intercorrelazione è uguale alla somma dell'intercorrelazione dei due segnali elementari. Per distinguere un inviluppo triangolare da quello dell'altro impulso, è chiaro che il tempo di arrivo dei due impulsi deve essere separato almeno di <math>\scriptstyle T</math> così che i massimi di entrambi gli impulsi possano essere separati. Se questa condizione non è rispettata, entrambi i triangoli saranno sovrapposti insieme e sarà impossibile separarli.

Dal momento che la distanza coperta da un'onda durante <math>\scriptstyle T</math> è <math>\scriptstyle cT</math> (dove ''c'' è la velocità dell'onda nel mezzo), e dal momento che la distanza corrisponde al tempo di andata e ritorno (''round trip time''), otteniamo:

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<div align="center"><math><s_{c'}, s_{c'}>(t) = T \Lambda \left(\frac{t}{T} \right) sinc \left[ \pi \Delta f t \Lambda \left( \frac{t}{T}\right) \right] e^{2 i \pi f_0 t} </math></div>

La funzione di autocorrelazione massima <math>\scriptstyle s_{c'}</math> è raggiunta a 0. Attorno a 0, questa funzione si comporta come un termine [[sinc]]. L'ampiezza temporale di −3 &nbsp;dB del seno cardinale è più o meno uguale a <math>\scriptstyle T' \,=\, \frac{1}{\Delta f}</math>. Tutto accade come se, dopo il filtraggio adattato, abbiamo ottenuto la risoluzione che abbiamo raggiunto con l'impulso semplice di durata <math>\scriptstyle T'</math>. Per i valori comuni di <math>\scriptstyle \Delta f</math>, <math>\scriptstyle T'</math> è più piccolo di <math>\scriptstyle T</math>, da cui il nome ''compressione dell'impulso''.

Dal momento che il seno cardinale può avere fastidiosi lobi laterali, una pratica comune è filtrare il risultato attraverso una finestra (Hamming, Hann, etc.). In pratica, questo può essere fatto allo stesso tempo del filtraggio adattato moltiplicando il chirp di riferimento con il filtro. Il risultato sarà un segnale con una ampiezza massima strettamente più bassa, ma i lobi laterali saranno filtrati via, che è la cosa più importante.

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==Voci correlate==

*[[Spread spectrum]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

[[Categoria:Teoria dei segnali]]