Meccanica hamiltoniana: differenze tra le versioni
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Pertanto il sistema dinamico costituito dal punto in moto viene descritto dalla sola [[funzione scalare]] (detta "[[lagrangiana]]"):
:<math>\mathbf\mathcal L = \mathbf f(\mathbf q, \mathbf \dot{q}, t) </math>
mediante le [[equazioni di Lagrange]], anziché dalle componenti [[forza (fisica)|forze]] e dai [[momenti meccanici]].
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:<math>
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot \mathbf q}\right)-\frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf q}=0
</math>
dove <math>\mathcal L = T-U</math> è la [[lagrangiana di Newton]], che è la differenza tra [[energia cinetica]] <math>T</math> e [[energia potenziale]] <math>U</math> del sistema.
Hamilton propose di riesprimere la equazione variazionale di Eulero, che è del secondo ordine, in due equazioni del primo ordine definendo i momenti lineari coniugati <math>\mathbf p</math> alle coordinate.
Il momento della coordinata <math>q_i</math> di un corpo in moto è la [[derivata parziale]] della lagrangiana rispetto all coordinata:
:<math>p_j = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{q}_j} </math>
ovvero:
:<math>\mathbf p = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf q}}</math>
Lo spazio bidimensionale coordinata-momento<math>(\mathbf q,\mathbf p)</math> è chiamato [[spazio delle fasi]].
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