Numero irrazionale: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], un '''numero irrazionale''' è ogni [[numero reale]] che non è un [[numero razionale]], cioè non può essere scritto come una [[frazione]] ''a / b'' con ''a'' e ''b'' [[numeri interi|interi]] e ''b'' diverso da zero. La necessità dell'instroduzione di questo insieme si rese evidente a causa dell'esistenza di grandezze incommensurabili, ossia prive di un sottomultiplo comune. I numeri irrazionali sono esattamente quei numeri la cui espansione in qualunque base (decimale, binaria, ecc) non termini mai e non formi una sequenza periodica. "Quasi tutti" i numeri reali sono irrazionali, in un senso che è definito più precisamente sotto.

Alcuni numeri irrazionali sono [[numero algebrico|numeri algebrici]] come 2^1/2 (la [[radice quadrata]] di [[due]]) and 5^1/3 (la radice cubica di 5); altri sono [[numero trascendente|numeri trascendenti]] come [[Pi greco|π]] and [[E (costante matematica)|e]].

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== Numeri irrazionali ed espansioni decimali ==

Spesso si crede erroneamente che i matematici definiscano "numero irrazionale" in termini di espansione decimale, chiamando un numero ''irrazionale'' se la sua espansione decimale non si ripete né termina. Nessun matematico utilizza tale definizione, in quanto la scelta della base 10 sarebbe arbitraria e la definizione tipica è più semplice e più motivata. Tutta via è vero che un numero è nella forma ''n''/''m'', dove ''n'' ed ''m'' sono interi, se e solo se la sua espansione decimale si ripete o è finita. Quando il ***lungo l'algoritmo di divisione lunga che ognunotutti hanno imparaimparato nella scuola elementare viene applicato alla divisione di ''n'' per ''m'', sono possibili solo ''m'' resti. Se 0 appare come resto, l'espansione decimale si conclude. Se 0 non compare, allora l'algoritmo può richiedere al massimo ''m'' - 1 passi senza usare ogni resto più di una volta. Dopodiché, un resto deve ricomparire, e quindi l'espanzione decimale si ripete. Al contrario, supponiamo di essere di fronte ad un decimale periodico, ad esempio:

:<math>A=0.7\,162\,162\,162\,\dots</math>