Numero irrazionale: differenze tra le versioni

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Il sedicesimo secolo vide infine l'accoglienza favorevole da parte della comunità matematica dei numeri negativi, interi e [[frazione|frazionari]]. Il diciassettesimo secolo vide, da parte di matematici, l'uso sempre più frequente delle frazioni decimali con la notazione moderna. I successivi cento anni videro i numeri immaginari diventare un potente strumento nelle mani di [[Abraham de Moivre]], e specialmente di [[Leonhard Euler]]. Per il diciannovesimo secolo rimase da completare la teoria dei [[numeri complessi]], dimostrare l'esistenza dei numeri trascednenti e dividere gli irrazionali in algebrici e trascendenti, e compiere uno studio scientifico su un argomento che era rimasto quasi in letargo dai tempi di [[Euclide]], la teoria degli irrazionali. L'anno [[1872]] vide la pubblicazione delle teorie di [[Karl Weierstrass]] (tramite il suo allievo [[Kossak]]), [[Heine]] (Crelle, 74), [[Georg Cantor]] (Annalen, 5), e [[Richard Dedekind]]. [[Méray]] aveva preso nel 1869 lo stesso punto di partenza di Heine, ma generalmente si attribuisce tale teoria all'anno 1872. Il metodo di Weierstrass fu completamente avviato da [[Pincherle]] (1880), e quello di Dedeking ricevette maggiore risalto tramite il successivo lavoro dell'autore (1888) e il più recente appoggio di [[Tannery]] (1894). Weierstrass, Cantor, e Heine basarono le loro teorie sulle serie infinite, mentre Dedekind fondò la sua sull'idea di un taglio (Schnitt) nel sistema dei numeri reali, separando tutti i numeri razionali in due gruppi che hanno certe proprietà caratteristiche. L'argomento ricevette successivi contributi per mano di Weierstrass, [[Kronecker]] (Crelle, 101), e Méray.

Le [[frazione continua|frazioni continue]], strettamente collegate ai numeri irrazionali (e dovute a Cataldi, 1613), furono prese in considerazione da parte di Eulero, e all'inizio del diciannovesimo secolo ebbero maggior rilievo grazie agli scritti di [[Joseph Louis Lagrange]]. Altri notevoli contributi furono dati da [[Druckenmüller]] (1837), [[Kunze]] (1857), [[Lemke]] (1870), and [[Günther]] (1872). Ramus (1855) per la prima volta collegò l'argomento con i determinanti, dando vita, con i successivi contributi di Heine, [[Möbius]], e Günther, alla teoria dei determinanti delle frazioni continue. Anche [[Dirichlet]] contribuì alla teoria generale.

I numeri trascendenti furono per la prima volta distinti dagli irrazionali algebrici da Kronecker. [[Lambert]] provò (1761) che π non può essere razionale, e che ''e''^''n'' è irrazionale se ''n'' è razionale (eccetto ''n'' = 0), dimostrazione, comunque, che lasciò molto a desiderare. [[Legendre]] (1794) completò la dimostrazione di Lambert, e mostrò che pi non è la radice quadrata di un numero razionale. [[Joseph Liouville]] (1840) mostrò che né ''e'' né ''e''² possono essere radici di un'[[equazione quadratica]] intera. Ma l'esistenza di numeri trascendenti fu per la prima volta stabilita da Liouville (1844, 1851), la cui dimostrazione fu successivamente rimpiazzata da Georg Cantor (1873). [[Charles Hermite]] (1873) provò per primo la trascendenza di ''e'', e [[Ferdinand von Lindemann]] (1882), partendo dalle conclusioni di Hermite, mostrò lo stesso per π. La dimostrazione di Lindemann fu molto semplificata da Weierstrass (1885), e ulteriormente da [[David Hilbert]] (1893), e fu infine resa elementare da [[Hurwitz]] e [[Gordan]].

== Irrazionalità di certi logaritmi ==