Problema ben posto: differenze tra le versioni

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#RINVIA [[Formulazione debole]]

Con il termine '''problema ben posto''' in [[matematica]] si intende, nell'accezione proposta dal matematico francese [[Jacques Hadamard]] nel XX secolo, un [[modello matematico]] di un [[Fenomeno|fenomeno fisico]] tale da rispettare le seguenti proprietà:

# deve esistere almeno una [[Risoluzione di un'equazione|soluzione]],

# tale soluzione è [[Unicità|unica]] ,

# la soluzione varia in modo [[Funzione continua|continuo]] al variare dei dati inseriti.

Esempi [[Archetipo|archetipico]] di problemi ben posti includono il [[Equazione di Laplace|problema di Dirichlet per l'equazione di Laplace]] e l'[[equazione del calore]] per specifiche condizioni iniziali.

I problemi che non rispettano le condizioni di Hadamard sono definiti '''mal posti''', come spesso accade ai [[Problema inverso|problemi inversi]], infatti, ad esempio, l'inversa dell'equazione del calore, che deduce una precedente distribuzione della temperatura dai dati finali, non è ben posta in quanto la soluzione è altamente sensibile ai cambiamenti nei dati finali.

Problemi possono sorgere anche in problemi ben posti nel caso sia necessario [[Discretizzazione|discretizzare]] un modello continuo per poterlo elaborare in forma numerica ([[Simulazione numerica|mediante computer]]). Infatti, sebbene le soluzioni possano essere continue rispetto alle condizioni iniziali, potrebbero soffrire di[[Stabilità numerica|instabilità numerica]] se risolte con [[precisione]] finita o con [[Errore (filosofia)|errori]] nei dati. Inoltre, anche se un problema è ben posto, può comunque essere '''mal [[Condizionamento (matematica)|condizionato]]''', che significa che un piccolo errore nei dati iniziali può causare errori molto più grandi nelle risposte, come accade nei [[Sistema complesso|sistemi complessi]] non lineari (i cosiddetti sistemi [[Teoria del caos|caotici]]).

Se il problema è ben posto, allora ha buone possibilità di essere risolto mediante un computer utilizzando un [[Stabilità numerica|algoritmo stabile]]. Se non è ben posto, deve essere riformulato per essere trattato numericamente. In genere ciò comporta l'inclusione di ipotesi aggiuntive, come la fluidità della soluzione, processo noto come ''[[Regolarizzazione (matematica)|regolarizzazione]]''. La [[regolarizzazione di Tikhonov]] è una delle più utilizzate nel caso di problemi lineari mal posti.

== Metodo energetico ==

Un metodo per determinare se un problema è ben posto si basa sulla derivazione di una stima del valore dell'[[energia]] associata a un dato problema.

'''Esempio''' : Si consideri l'equazione di [[avvezione]] lineare con condizioni al [[Condizioni al contorno di Dirichlet|contorno di Dirichlet]] omogenee e propri dati iniziali <math>f(x)</math> :

<math>

\begin{cases}

u_t+\alpha u_x=0, 0<x<1, \alpha > 0,\\

u(x,0)=f(x),\\

u(0,t)=0,\\

u(1,t)=0,\\

\end{cases}

</math>

in base al metodo dell'energia, si moltiplicha l'equazione per <math>u</math> e si integra lungo lospazio nell'intervallo dato.

<math>\partial_t\int_0^1\frac{u^2}{2}dx=-\alpha\int_0^1uu_xdx\Rightarrow \frac{1}{2}\partial_t\|u\|_2^2=-\alpha\frac{u^2}{2}\Big|_0^1=0</math>

Quindi si integra lungo il tempo e si ottiene la stima energetica

<math>\|u(\cdot,t)\|_2\leq \|f(\cdot)\|_2</math> ( [[Spazio Lp|norma p]] )

Da questa stima energetica si può concludere che il problema è ben posto.

== Voci correlate ==

#RINVIA [[Formulazione debole]]

== Note ==

* {{Cita libro|anno=1902|pp=49–52}}

* {{Cita libro|edizione=4th|anno=1989|ISBN=0-07-045270-9}}

* {{Cita libro|anno=1977|ISBN=0-470-99124-0}}

{{Controllo di autorità}}

[[Categoria:Equazioni alle derivate parziali]]

[[Categoria:Analisi numerica]]