Radice primitiva modulo n: differenze tra le versioni

Versione delle 16:53, 27 apr 2019

Versione delle 11:01, 15 ott 2022

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In [[matematica]], in particolare in [[aritmetica modulare]], un '''generatore modulo <math>n</math>''' o '''radice primitiva modulo <math>n</math>''' (o semplicemente '''generatore''' se è chiaro il contesto,) è un [[Numeronumero intero|intero]] <math>g</math> le cui potenze [[Aritmetica modulare|modulo]] <math>n</math> sono congruenti con i numeri [[coprimo|coprimi]] ad <math>n</math>.

I generatori modulo <math>n</math> rivestono un'importanza considerevole in [[crittografia]].

Se <math>n\ge 1</math> è un [[Numero intero|intero]], i numeri [[coprimo|coprimi]] ad <math>n</math>, considerati modulo <math>n</math>, costituiscono un [[Gruppo (matematica)|gruppo]] rispetto all'operazione di moltiplicazione; esso viene generalmente indicato con <math>(\Z/n\Z)^*</math> oppure <math>\Z_n^*</math>. Esso è un [[gruppo ciclico]] se e solo se <math>n</math> è uguale a <math>2</math>, <math>4</math>, <math>p^k</math> o <math>2p^k</math> per un [[numero primo]] [[Numero dispari|dispari]] <math>p</math> e <math>k\ge 1</math>. Un generatore di questo gruppo ciclico è chiamato anche '''elemento primitivo di <math>\Z_n^*</math>'''.

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Si ha che <math>3</math> è un generatore modulo <math>14</math>, perché 3² = 9, 3³ = 13, 3⁴ = 11, 3⁵ = 5 e 3⁶ = 1 (modulo 14). L'unica altra radice primitiva modulo <math>14</math> è <math>5</math>.

I generatori modulo <math>n</math> rivestono un'importanza considerevole in [[crittografia]].

==Trovare i generatori==