Repunit: differenze tra le versioni

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Nella [[matematica ricreativa]], un '''repunit''' è un (dall'[[numeroLingua inglese|inglese]], come 11, 111 o 1111, che contiene solo la cifra 1. Il termine viene dall"''inglese '''rep'''eated '''unit''', "unità ripetuta''",<ref>Il ed ètermine statovenne coniato nel da [[1964Albert Beiler]] danel [[Albert H. Beiler1964]] nel suo libro ''Recreations in the Theory of Numbers''<ref>(''[http://ssd.jpl.nasa.gov/sbdb.cgi?sstr=11111 Jet Propulsion Laboratoryfonte]'')</ref>. Un''unità ripetuta'' ) è un [[primonumero repunitintero]], ècome un11, repunit111 o 1111, che ècontiene anchesolo unla [[numerocifra]] primo[[1 (cifra)|1]].

==Definizione==

I repunit sono definiti matematicamente come:

:<math>R_n={ 10^n-1 \over 9}\qquad\mbox{per }n\ge1.</math>

Pertanto il numerodove ''R''_''n'' è il numero formato da ''n'' ripetizioni della cifra 1, ovviamente questo per la [[base 10]]; e la sequenza dei repunit con [[1 (numero)|1]], [[11 (numero)|11]], [[111 (numero)|111]], 1111, ... (sequenza [[OEIS:A002275|A002275]] dell'[[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|OEIS]]).

La sequenza dei repunit con [[uno|1]],&nbsp;[[undici|11]],&nbsp;[[centoundici|111]],&nbsp;1111,... (sequenza [[OEIS:A002275|A002275]] dell'[[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|OEIS]]).

==Primi repunit==

{{vedi anche|Repunit (fattori)}}

Storicamente, la definizione dei repunit è stata motivata dalla ricerca, all'interno della matematica ricreativa, dei [[fattore primo|fattori primi]] di tali numeri.

==Generalizzazione e proprietà ==

Si può facilmente dimostrare che se ''n'' è divisibile per ''a'', allora ''R_n'' è divisibile per ''R_a''. Ad esempio 9 è divisibile per 3, e ''R₉'' è divisibile per ''R₃'': 111111111&nbsp;=&nbsp;111&middot;1001001. Ne consegue che condizione necessaria perché ''R_n'' sia primo è che ''n'' sia a sua volta un numero primo<ref>Non si tratta ovviamente di condizione sufficiente, come peraltro facilmente verificabile con un immediato controesempio: ''R₃''&nbsp;=&nbsp;111&nbsp;=&nbsp;3&middot;37.</ref>.

Il concetto di repunit è matematicamente un concetto arbitrario, nel senso che generalizzando qualsiasi numero può essere espresso come un repunit se scritto nella giusta [[base numerica|base di numerazione]], ogni numero N infatti può essere scritto come 11 se espresso in base N-1, e ciò ovviamente non toglie che in altre bassi possa configurarsi come un altro repunit con una sequenza di uno maggiore.

Perciò generalizzando il concetto a una qualsiasi base arbitraria '''b''', con ''n'' che indica sempre il numero di cifre 1.

La sequenza dei primi repunit attualmente noti è [[OEIS:A004022|A004022]] dell'OEIS, mentre la più compatta sequenza delle loro lunghezze è la [[OEIS:A004023|A004023]] dell'OEIS. ''R₄₉₀₈₁'' (scoperto nel [[1999]] da Harvey Dubner<ref>H. Dubner, "Repunit R49081 is a probable prime," Math. Comp., 71:238 (2002) 833--835</ref>), ''R₈₆₄₅₃'' (scoperto nell'ottobre [[2000]] da Lew Baxter) e ''R₁₀₉₂₉₇'' (scoperto anch'esso da Harvey Dubner nel marzo del [[2007]]) sono attualmente considerati [[primo probabile|primi probabili]], ovvero hanno sino ad ora superato molteplici [[Numero primo#Test di primalità|test di primalità]] pur mancando ancora una reale dimostrazione del fatto che siano effettivamente primi.

:<math>R_n^{(b)}={b^n-1\over b-1}\qquad\mbox{per }n\ge1.</math>

È stato congetturato che, benché estremamente rari, esistano infiniti numeri primi repunit<ref>http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Repunit</ref>.

In verità, i repunit in base 2 sono i rispettabili [[numero di Mersenne|numeri di Mersenne]] ''M''_''n''&nbsp;=&nbsp;2^''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1. Il [[progetto Cunningham]] cerca di raccogliere le fattorializzazioni (fra l'altro) dei repunit in base 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11 e 12.

==Generalizzazioni==

I primi repunit sono un sottoinsieme dei [[primo permutabile|primi permutabili]], cioè primi che rimangono tali dopo qualunque [[permutazione]] delle loro cifre.

I matematici professionisti solitamente considerano i repunit un concetto arbitrario, sostenendo che dipendono dall'uso del [[sistema numerico decimale]]. L'arbitrarietà può però essere risolta generalizzando l'idea ai '''repunit in base ''b'' ''':

== Primi repunit ==

:<math>R_n^{(b)}={b^n-1\over b-1}\qquad\mbox{per }n\ge1.</math>

{{vedi anche|Repunit (fattori)}}

Storicamente, la definizione dei repunit è stata motivata dalla ricerca, all'interno della matematica ricreativa, dei [[fattore primo|fattori primi]] di tali numeri.

Si può facilmente dimostrare che se ''n'' è divisibile per ''a'', allora ''R_n'' è divisibile per ''R_a''. Ad esempio 9 è divisibile per 3, e ''R₉'' è divisibile per ''R₃'': 111111111&nbsp;=&nbsp;111&middot;1001001. Ne consegue che condizione necessaria perché ''R_n'' sia primo è che ''n'' sia a sua volta un numero primo<ref>Non si tratta ovviamente di condizione sufficiente, come peraltro facilmente verificabile con un immediato controesempio: ''R₃''&nbsp;=&nbsp;111&nbsp;=&nbsp;3&middot;37.</ref>.

In verità, i repunit in base 2 sono i rispettabili [[numero di Mersenne|numeri di Mersenne]] ''M''_''n''&nbsp;=&nbsp;2^''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1. Il [[progetto Cunningham]] cerca di raccogliere le fattorializzazioni (fra l'altro) dei repunit in base 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11 e 12.

La sequenza dei primi repunit attualmente noti è [[OEIS:A004022|A004022]] dell'OEIS, mentre la più compatta sequenza delle loro lunghezze è la [[OEIS:A004023|A004023]] dell'OEIS. ''R₄₉₀₈₁'' (scoperto nel [[1999]] da Harvey Dubner<ref>H. Dubner, "Repunit R49081 is a probable prime," Math. Comp., 71:238 (2002) 833--835</ref>), ''R₈₆₄₅₃'' (scoperto nell'ottobre [[2000]] da Lew Baxter) e ''R₁₀₉₂₉₇'' (scoperto anch'esso da Harvey Dubner nel marzo del [[2007]]) sono attualmente considerati [[primo probabile|primi probabili]], ovvero hanno sino ad ora superato molteplici [[Numero primo#Test di primalità|test di primalità]] pur mancando ancora una reale dimostrazione del fatto che siano effettivamente primi.

I primi repunit sono un sottoinsieme dei [[primo permutabile|primi permutabili]], cioè primi che rimangono tali dopo qualunque [[permutazione]] delle loro cifre.

È stato congetturato che, benché estremamente rari, esistano infiniti numeri primi repunit<ref>http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Repunit</ref>.

==Voci correlate==

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==Collegamenti esterni==

*[http://mathworld.wolfram.com/Repunit.html I repunit su MathWorld]

* {{MathWorld|Repunit}}

*[http://www.cerias.purdue.edu/homes/ssw/cun/third/pmain901 Le tavole principali] del [http://www.cerias.purdue.edu/homes/ssw/cun/ progetto Cunningham]

* [http://primeswww.utmcerias.purdue.edu/glossaryhomes/page.php?sort=Repunitssw/cun/third/pmain901 ILe repunittavole principali] sulledel [http://primeswww.utmcerias.purdue.edu/homes/ssw/cun/ Primeprogetto PagesCunningham] di Chris Caldwell

* [http://wwwprimes.worldofnumbersutm.comedu/repunitsglossary/page.htmphp?sort=Repunit I repunit ed i loro fattori primi] susulle [http://wwwprimes.worldofnumbersutm.comedu/ World!OfPrime NumbersPages] di Chris Caldwell

* [http://www.worldofnumbers.com/repunits.htm I repunit ed i loro fattori primi] su [http://www.worldofnumbers.com World!Of Numbers]