Repunit: differenze tra le versioni

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==Generalizzazione ==

IlMatematicamente concetto diil repunit è matematicamenteun concetto arbitrario, nelesso sensodipenda che,dalla generalizzando,[[base qualsiasi(aritmetica)|base]] numeroin puòcui essereil scrittonumero come un repunit seviene espresso; insi unapensi opportuna [[base numerica|base]];che ogni numero intero N, infatti, può essere riscritto come 11 (''uno-uno'') se espresso in base N-1, ciò, ovviamente,per nonun negasemplice chemotivo: inun altrenumero basi possa nuovamente ripresentarsi sotto forma diin un altro[[sistema repunit ma con una sequenza maggiore di cifre, nessun numero infattiposizionale]] può essere scrittorappresentato concome launa stessa[[serie sequenzageometrica]] di cifreragione espresso in due basi differenti'''b''', eccetto il caso che siane inferiorerappresenta ala entrambebase le basi, allora coincide in quanto il numero è rappresentato sempre e solo da un'unicadi cifranumerazione:

:<math>N = a_1^ib^0 + a_2^ib^1 + a_3^ib^2 + \dots + a_n^ib^{n-1}</math>

Perciò generalizzando il concetto a una qualsiasi base arbitraria '''b''', con ''n'' che indica sempre il numero di cifre 1.

i vari aⁱ, con 0 ≤ ''i'' ≤ B-1, rapprendano le B cifre presenti in quella determinata base dove impostiamo che:

* a⁰ = 0 - numero [[zero]]

* a¹ = 1 - numero [[uno]]

* a^b = 10 = b <small>(''uno'' e ''zero'' non rappresentano il [[dieci]], ma genericamente il primo numero che deve essere rappresentato con due cifre, cioè la base)</small>

Se vogliamo che quindi un numero N sia rappresentato con 11, basta risolvere l'equazione: N = 1 × b⁰ + 1 × b¹ da cui b = N - 1, cioè:

N = 1 + (N - 1)¹ = 1 + N - 1

Se fossimo addirittura in [[base unaria]], ogni numero sarebbe addirittura rappresentato da tanti uno quando è in valore di N:

* 2 = 11

* 3 = 111

* 6 = 111111

Risulta quindi evidente come non bisogna confondere la ''rappresentazione'' del numero col ''[[numero]]'' stesso, che invece è un'entità indipendente la quale può trovare, a seconda delle convenzioni, diverse rappresentazioni; ciò nonostante, quando anche la rappresentazione ha una sua spiegazione matematica, come in questo caso, può essa stessa essere fonte di proprietà matematiche fondate, proprietà come quelle dei repunit per i quali però conviene ragionare in termini generali, senza prendere a riferimento una [[base 10|precisa base]], come siamo soliti fare.

Partendo dal concetto che la notazione posizionale di fatto deriva da una serie geometrica, come nel caso dei repunit, ha tutte le cifre uguale 1, aⁱ = 1, è possibile arrivare a questa formula:

:<math>R_n^{(b)}={b^n-1\over b-1}.</math>

Dove R sta per la rappresentazione in forma di repunit di un generico numero N in base B e con ''n'' cifre 1.<ref>Intuitivamente la formula può anche essere spiegata così: ogni repunit è immancabilmente anche un [[divisore]] di altri [[numero a cifra ripetuta|numeri a cifra ripetuta]], ivi compreso quello corrispondente alla cifra a^b-1, e siccome tale numero è anche l'[[antecedente (matematica)|]] di un multiplo di bⁿ, tale multiplo meno [[1 (numero)|]] e diviso a^b-1, cioè b -1, non può che essere un repunit di ''n'' cifre</ref> ad esempio:

:<math>R_3^{(5)}={5^3-1\over 5-1} = 31</math>

significa che 31 espresso in base 5 è uguale a ''111'' cioè un repunit R₃

=== Proprietà ===