Convoluzione: differenze tra le versioni
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Più in generale si possono considerare <math>f(t)</math> e <math>g(t)</math> definite su <math>\R^d</math> a valori in <math>\Complex</math>, la cui convoluzione è data da:
:<math>(f * g )(x) = \int_{\R^d} f(y)g(x-y)\,\mathrm dy = \int_{\R^d} f(x-y)g(y)\,\mathrm dy</math>
Se <math>X</math> e <math>Y</math> sono due [[variabile casuale|variabili casuali]] [[indipendenza (probabilità)|indipendenti]] con [[Funzione di densità di probabilità|densità di probabilità]] <math>f</math> e <math>g</math> rispettivamente, allora la densità di probabilità della somma <math>X + Y</math> è data dalla convoluzione di <math>f</math> con <math>g</math>.<ref>{{Cita|J. Jacod; P. Protter|Pag. 117|jacod}}.</ref>
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Data una [[funzione periodica]] <math>x_T</math> con periodo <math>T</math>, la sua convoluzione con un'altra funzione <math>h</math> è ancora una funzione periodica e può essere espressa come:
:<math>(x_T * h)(t) \, \stackrel{\mathrm{def}}= \int_{-\infty}^\infty h(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\,d\tau = \int_{t_o}^{t_o+T} h_T(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\mathrm d\tau</math>
dove <math>t_o</math> è un parametro arbitrario e <math>h_T</math> è la [[Formula di sommazione di Poisson|sommazione periodica]] di <math>h</math>, data da:<ref>Infatti:
:<math>\int_{-\infty}^\infty h(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\,\mathrm d\tau</math>
::<math>
\begin{align}
&= \sum_{k=-\infty}^\infty \left[\int_{t_o+kT}^{t_o+(k+1)T} h(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\ d\tau\right] \\
&\stackrel{\tau \to \tau+kT}{=}\ \sum_{k=-\infty}^\infty \left[\int_{t_o}^{t_o+T} h(\tau+kT)\cdot x_T(t - \tau -kT)\ d\tau\right] \\
&= \int_{t_o}^{t_o+T} \left[\sum_{k=-\infty}^\infty h(\tau+kT)\cdot \underbrace{x_T(t - \tau-kT)}_{X_T(t - \tau)}\right]\ \mathrm d\tau\\
&= \int_{t_o}^{t_o+T} \underbrace{\left[\sum_{k=-\infty}^\infty h(\tau+kT)\right]}_{\stackrel{\mathrm{def}}{=} \ h_T(\tau)}\cdot x_T(t - \tau)\ \mathrm d\tau
\end{align}
</math>
| |||