Convoluzione: differenze tra le versioni
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Si considerino due funzioni <math>f(t)</math> e <math>g(t)</math> definite da <math>\R</math> in sé, con <math>f</math> e <math>g</math> [[integrale di Lebesgue|integrabili secondo Lebesgue]] su <math>\R</math>. Si definisce convoluzione di <math>f</math> e <math>g</math> la funzione definita nel seguente modo:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 170|rudin}}.</ref>
:<math>(f*g)(t):=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau)\ \mathrm d\tau= \int_{-\infty}^{\infty} f(t-\tau)g(\tau)\ \mathrm d\tau </math>
dove <math>\int_{-\infty}^{\infty}</math> denota l'[[integrale|integrale definito]] sull'insieme dei [[numeri reali]]. Le limitazioni poste alle funzioni <math>f</math> e <math>g</math> assicurano che l'integrale sia un [[numero reale]]. È cioè l'integrale del prodotto delle due funzioni dopo che una delle funzioni di partenza è stata rovesciata e traslata, e si può considerare una forma di [[trasformata integrale]]. L'ultimo passaggio si può dimostrare considerando <math>(t-\tau) = \tau'</math>: operando la sostituzione nella prima formula si ottiene la seconda ritornando a chiamare <math>\tau'</math> con il nome di <math>\tau</math>.
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Più in generale si possono considerare <math>f(t)</math> e <math>g(t)</math> definite su <math>\R^d</math> a valori in <math>\Complex</math>, la cui convoluzione è data da:
:<math>(f * g )(x) = \int_{\R^d} f(y)g(x-y)\,\mathrm dy = \int_{\R^d} f(x-y)g(y)\
Se <math>X</math> e <math>Y</math> sono due [[variabile casuale|variabili casuali]] [[indipendenza (probabilità)|indipendenti]] con [[Funzione di densità di probabilità|densità di probabilità]] <math>f</math> e <math>g</math> rispettivamente, allora la densità di probabilità della somma <math>X + Y</math> è data dalla convoluzione di <math>f</math> con <math>g</math>.<ref>{{Cita|J. Jacod; P. Protter|Pag. 117|jacod}}.</ref>
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Data una [[funzione periodica]] <math>x_T</math> con periodo <math>T</math>, la sua convoluzione con un'altra funzione <math>h</math> è ancora una funzione periodica e può essere espressa come:
:<math>(x_T * h)(t) \, \stackrel{\mathrm{def}}= \int_{-\infty}^\infty h(\tau)\cdot x_T(t - \tau)\
dove <math>t_o</math> è un parametro arbitrario e <math>h_T</math> è la [[Formula di sommazione di Poisson|sommazione periodica]] di <math>h</math>, data da:<ref>Infatti:
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La convoluzione di due funzioni <math>f</math> e <math>g</math> definite su <math>\R^d</math> a valori in <math>\Complex</math>:
:<math>(f*g)(x) = \int_{\R^d}f(y)g(x-y)\
è ben definita solo se <math>f</math> e <math>g</math> decrescono all'infinito abbastanza rapidamente da garantire l'esistenza dell'integrale.
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Sotto opportune condizioni è possibile definire la convoluzione di una funzione con una [[Distribuzione (matematica)|distribuzione]] e la convoluzione tra due distribuzioni. Se <math>f</math> è una funzione a supporto compatto e <math>g</math> è una distribuzione, la loro convoluzione è una [[funzione liscia]] definita dall'analoga formulazione distribuzionale:
:<math>\int_{\R^d} {f}(y)g(x-y)\
Più in generale, si può estendere la definizione convoluzione unicamente in modo che la proprietà associativa:
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La convoluzione di due [[Misura (matematica)|misure]] di [[algebra di Borel|Borel]] <math>\mu</math> e <math>\nu</math> a [[Funzione a variazione limitata|variazione limitata]] è la misura <math>\lambda</math> definita come:
:<math>\int_{\R^d} f(x)d\lambda(x) = \int_{\R^d}\int_{\R^d}f(x+y)\,\mathrm d\mu(x)\,\mathrm d\nu(y)</math>
Tale definizione coincide con la precedente se <math>\mu</math> e <math>\nu</math> sono trattate come distribuzioni, e con la definizione di convoluzione di funzioni in <math>L^1</math> quando <math>\mu</math> e <math>\nu</math> sono [[Continuità assoluta|assolutamente continue]] rispetto alla [[misura di Lebesgue]].
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: <math>f * g = g * f </math>
{{Approfondimento
|larghezza = 100%
|titolo = Dimostrazione
|contenuto = Partendo dalla definizione:
: <math> (f*g)(t):=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau) \mathrm d\tau </math>
si applica la sostituzione:
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da cui:
: <math>\frac{\mathrm d\tau}{\mathrm dy} = -1 \to \mathrm d\tau=-\mathrm dy </math>
Ricordando che gli estremi di integrazione sono espressi in funzione di <math>\tau</math>, esprimendoli in funzione di <math>y</math> l'estremo inferiore diventa:
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Dato che nel caso di integrali definiti o impropri è possibile invertire gli estremi di integrazione:
: <math> (f*g)(t):=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau) \mathrm d\tau =-\int_{\infty}^{-\infty} f(t-y)g(y) \mathrm dy=\int_{-\infty}^{\infty} g(y)f(t-y) \mathrm dy=(g * f)(t)</math>
}}
Line 175 ⟶ 174:
Se <math>G</math> è un [[Gruppo (matematica)|gruppo]] scelto in modo appropriato e la cui [[Misura (matematica)|misura]] corrisponde al valore ''m'' (per esempio, un gruppo di [[Spazio di Hausdorff|Hausdorff]] [[Spazio localmente compatto|localmente compatto]] con la [[misura di Haar]]) e se <math>f</math> e <math>g</math> sono valori reali o complessi dell'm-[[Integrale di Lebesgue|integrale]] di <math>G</math>, allora la loro convoluzione può essere definita dalla relazione:
:<math>(f * g)(x) = \int_G f(y)g(xy^{-1})\,\mathrm dm(y) </math>
== Applicazioni ==
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