Notazione di Einstein: differenze tra le versioni

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In [[algebra lineare]] la '''notazione di Einstein''' o la '''convenzione di Einstein nelle sommatorie''' è una convenzione per contrarre i [[Tensore|tensori]]: ogni indice che compare all'interno di un fattore più di una volta viene sommato al variare di tutti i possibili valori che l'indice può assumere.

Nelle applicazioni più comuni l'indice può valere 1,2,3 (per calcoli nello [[spazio euclideo]]), o 0,1,2,3 o 1,2,3,4 (per calcoli nello [[spaziotempo di Minkowski]]), ma esso può variare in qualsiasi intervallo, compresi insiemi infiniti. La notazione astratta degli indici è uno sviluppo della notazione di Einstein.

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== Definizione ==

Nell'articolo del 1916 "''La fondazione della teoria della relatività generale''" (''Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie''),<ref name="articolo-rel-tedesco">{{Cita pubblicazione|autore=Albert Einstein|titolo=Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie|lingua=de|url=http://www.alberteinstein.info/gallery/pdf/CP6Doc30_pp284-339.pdf|accesso=15 ottobre 2017|dataarchivio=4 febbraio 2012|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20120204075246/http://www.alberteinstein.info/gallery/pdf/CP6Doc30_pp284-339.pdf|urlmorto=sì}}</ref> dopo alcuni paragrafi di introduzione, Einstein dedica il punto B della sezione 4 ai "''Mezzi matematici per la formulazione di equazioni covarianti in modo generale''". A valle della definizione di [[quadrivettore]] covariante e controvariante, dedica una nota alla "''Osservazione sulla scrittura semplificata delle espressioni''". Dunque, fu lui stesso a usare la dizione di "''notazione semplificata''", da applicare ai [[tensore|tensori]] precedentemente introdotti. A proposito scrive:

{{Citazione|''Un'occhiata alle equazioni del presente paragrafo mostra che le sommatorie si effettuano sempre rispetto agli indici che si presentano due volte sotto il segno di somma e ''unicamente'' rispetto a indici siffatti. Perciò, è possibile, senza ledere la chiarezza, sopprimere il segno <math>\sum</math>. A tale scopo diamo la seguente regola: "quando un indice si presenta due volte in un termine di un'espressione, occorre sommare rispetto ad esso, salvo il caso che sia esplicitamente indicato il contrario".[...]. Seguendo l'uso introdotto da [[Tullio Levi Civita|Levi-Civita]], indichiamo il carattere covariante collocando l'indice in basso e quello controvariante collocando l'indice in alto''.}}

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indica un numero, componente del tensore <math>T</math> dipendente dai numeri <math>\mu</math> e <math>\lambda</math>.

Questa notazione si scontra parzialmente con un uso precedente in presenza di uno [[spaziotempo]] a 4 dimensioni,<ref name=Wald>< /ref> tuttavia ancora diffuso,<ref>{{cita libro | cognome=Prosperi| nome=Gian Maria| anno=2004 | titolo=Elementi di teoria della relatività ristretta | editore=Cusl | isbn=88-8132-505-5}}</ref> secondo il quale si usano le lettere greche quando si vuole indicare che la sommatoria deve essere svolta su tutti gli indici (spaziali e temporali), si usano le lettere latine quando la sommatoria e ristretta alle sole componenti spaziali Per esempio,

:<math>x^{\mu}x_{\mu} = \sum_{\mu=0}^{3} = -(x^0)^2 + ||\hat{x}||^2</math>

dove abbiamo usato la metrica

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* [[Tensore]]

* [[Notazione bra-ket]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Portale|matematica}}