Numero irrazionale: differenze tra le versioni

Versione delle 14:58, 30 set 2005

Versione delle 14:59, 30 set 2005

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Irrazionalità della radice quadrata di 2

== Numeri di cui non è accertata l'irrazionalità ==

Una dimostrazione dell'irrazionalità della radice quadrata di 2 è la seguente, che procede per assurdo. La proposizione è provata assumendo l'opposto e mostrando che è falso, che implica che la proposizione iniziale debba essere vera.

Assumiamo che √2 sia un numero razionale. Ciò comporta che esistono due interi a e b tali che a / b = √2.

Non si sa ancora se &pi; + ''e'' o &pi; &minus; ''e'' sono irrazionali o no. Infatti, non c'è nessuna coppia di interi non nulli ''m'' ed ''n'' per cui si sappia se ''m''&pi; + ''ne'' è irrazionale o no. Non si sa neanche se 2<sup>''e''<sup>, &pi;<sup>''e''<sup>, &pi;<sup>&radic;2<sup> o la [[costante di Euler-Mascheroni|costante gamma di Euler-Mascheroni]] sono irrazionali.

Allora √2 si può scrivere come una frazione irriducibile a / b tale che a e b sono interi coprimi e (a / b)2 = 2.

Segue che a2 / b2 = 2 ed a2 = 2b2.

Dunque a2 è pari perché è uguale a 2b2 che è ovviamente pari.

Segue che anche a deve essere pari. (Infatti numeri dispari hanno quadrati dispari e numeri pari hanno quadrati pari.)

Poiché a è pari, esiste un intero k che soddisfa: a = 2k.

Sostituendo otteniamo: 2b2 = (2k)2, cioè b2 = 2k2.

Poiché 2k2 è pari segue che anche b2 è pari e quindi anche b è pari.

In base alla (5) e la (8) a e b sono entrambi pari, che contraddice il fatto che a / b sia irriducibile come supposto nella (2).

Poiché abbiamo ottenuto una contraddizione con l'assunzione che √2 sia un numero razionale, essa deve essere falsa. Dunque abbiamo dimostrato l'opposto, cioè che √2 è irrazionale.

Questa dimostrazione si può generalizzare per dimostrare che qualunque radice di qualunque numero naturale è un numero naturale o è irrazionale.

== L'insieme di tutti i numeri irrazionali ==