Discussione:Teorema di Noether: differenze tra le versioni
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:BW, mi sembra che [http://copernico.dm.unipi.it/~milani/dinsis/node39.html in questa pagina] ci sia una dimostrazione più rigorosa anche se te la segnalo solamente, dato che il mio amore per la matematica risente dell'attuale scarsa pratica quotidiana..se non serve niente, altrimenti cambia tu (io meglio che non tocchi niente ;) ) Ciao e grazie, [[Utente:Ancem|Matteo]] 07:27, Ago 11, 2004 (UTC)
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Apro i miei appunti di "meccanica razionale" e leggo:<br>
Definizione: si dice ammissibile una trasformazione invertibile di coordinate <math>\vec{q}=\vec{f}(\vec{Q})</math> per un dato sistema se e soltanto se la lagrangiana L del sistema è invariante per la trasformazione ovvero se: <math>L(\vec{q}, \vec{\dot{q}})=L(\vec{Q}, \vec{\dot{Q}})</math>.<br>
Teorema di Noether: Se un sistema lagrangiano ammette un gruppo di trasformazioni ad un parametro <math>\vec{q}=\vec{f}(\vec{Q},s)</math> allora le eq. di Lagrange del sistema hanno un integrale primo dato da <math>I(\vec{q}, \vec{\dot{q}})=\sum_{i=1}^{l} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial f_i}{\partial s} (\vec{q},0)</math>.<br>
Dimostrazione: se <math>\vec{q}(t)</math> è una soluzione delle equazioni di Lagrange allora anche <math>\vec{F}(t,s)=\vec{f}(\vec{q}(t),s)</math> lo è. Ma per l'invarianza di L posso scrivere<br>
<math>\frac{\partial}{\partial s} L(\vec{F}, \vec{\dot{F}}) |_{s=0} = \sum_{i=1}^{l} (\frac{\partial L}{\partial q_i} (\vec{F}, \vec{\dot{F}}) \frac{\partial F_i}{\partial s} (t,0)+ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} (\vec{F}, \vec{\dot{F}}) \frac{\partial F_i}{\partial t} (t,0)) =0</math><br>
Ma per ogni i da 1 a l<br>
<math>\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} (\vec{F}, \dot{\vec{F}})- \frac{\partial L}{\partial q_i} (\vec{F}, \dot{\vec{F}})=0</math><br>
Mettendo a sistema queste due equazioni e sfruttando il fatto che: <math>\vec{F}(t,0)=\vec{q}(t)</math>, <math>\dot{\vec{F}}(t,0)=\dot{\vec{q}}(t)</math> e <math>\frac{\partial \vec{F}}{\partial s}=\frac{\partial \vec{f}}{\partial s}</math> si ottiene<br>
<math>\frac{d}{d t} (\sum_{i=1}^{l} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial F_i}{\partial s} (t,0))= \frac{d}{d t} I(\vec{q}, \dot{\vec{q}})=0</math>
<br>
ovvero I è un'invariante del moto.
Spero di non aver insrito troppi errori :-) Ditemi cosa ne pensate.--[[Utente:Berto|Berto]] 08:04, Ago 11, 2004 (UTC)
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