Funzione omogenea: differenze tra le versioni

Versione delle 16:54, 8 giu 2023

Versione delle 07:24, 6 lug 2023

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La definizione si può estendere, mantenendo identiche le notazioni, a [[funzionale|funzionali]] definiti in [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]] qualsiasi a valori nel rispettivo [[campo (matematica)|campo]]. Notare però che perché abbia senso parlare di funzioni positivamente omogenee, deve essere definita una nozione di "positività" degli elementi del campo, cioè esso deve essere un [[campo ordinato]].

== [[Derivata]] di una funzione omogenea ==

Sia <math>f(x_{1},\ldots, x_{n})</math> una funzione omogenea di grado <math>k</math> e parzialmente [[Derivata|derivabile]], allora vale la seguente proposizione:

* ''Ogni [[derivata parziale]] <math>\ f_{x_{i}} </math> con <math>\ i = 1,\ldots, n </math> è una funzione omogenea di grado <math>k - 1</math>''

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:<math>f_{x_{i}}(\alpha x_{1},\ldots, \alpha x_{n})= {\alpha}^{k-1}f_{x_{i}}(x_{1},\ldots, x_{n}).</math>

== Teorema di [[Eulero]] sulle funzioni omogenee ==

Sia <math>f\colon A\rightarrow\mathbb{R}</math> una [[funzione differenziabile]] su un cono [[insieme aperto|aperto]] <math>A\subset\R^n</math>. Allora <math>f</math> è omogenea di grado <math>k</math> su <math>A</math> se e solo se vale l'identità detta '''identità di Eulero''':