Funzione zeta di Riemann: differenze tra le versioni
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dato che per il teorema fondamentale dell'aritmetica ogni numero naturale si può decomporre in maniera unica come prodotto di potenze di primi.
È interessante notare che la [[formula di Eulero]] ha come conseguenza che vi sono [[Teorema dell'infinità dei numeri primi|infiniti numeri primi]]. Infatti, se vi fosse solo un numero finito di numeri primi allora il prodotto di Eulero sarebbe un prodotto finito e quindi sarebbe definito anche per <math>s=1</math>, mentre in tale punto la funzione zeta ha un polo. Sebbene possa sembrare esageratamente complicata per un teorema di cui esistono dimostrazioni elementari, questa dimostrazione è molto importante in quanto una sua generalizzazione è stata usata da [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichlet]] per dimostrare il [[Teorema di Dirichlet|teorema dell'infinità dei numeri primi nelle progressioni aritmetiche]].
Questo prodotto è all'origine del collegamento tra funzione zeta e [[numero primo|numeri primi]].
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=== Relazione con la trasformata di Mellin ===
{{vedi anche|trasformata di Mellin}}
La [[trasformata di Mellin]] di una funzione <math>f(x)</math> è definita come:
:<math>\{ \mathcal{M} f \}(s) = \int_0^{+\infty} f(x)x^{s-1} dx.</math>
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