Numero perfetto totiente: differenze tra le versioni
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Un'altra famiglia di numeri perfetti totienti è quella data dalla seguente regola: se ''p''=4·3<sup>''m''</sup>+1 è un [[numero primo]], allora 3''p'' è un numero perfetto totiente.<ref>{{cita pubblicazione|autore = Venkataraman, T.| titolo = Perfect totient number| giornale = The Mathematics Student| volume = 43| anno = 1975|p = 178|url=http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0447089}}</ref> I primi valori di ''m'' per i quali 4·3<sup>''m''</sup>+1 è primo sono: [[0 (numero)|0]], [[1 (numero)|1]], [[2 (numero)|2]], [[3 (numero)|3]], [[6 (numero)|6]], [[14 (numero)|14]], [[15 (numero)|15]], [[39 (numero)|39]], [[201 (numero)|201]], [[249 (numero)|249]], [[1005 (numero)|1005]], [[1254 (numero)|1254]], [[1635 (numero)|1635]], [[3306 (numero)|3306]]<ref>{{OEIS|A005537}}</ref>.
Più generalmente, se ''p'' è un numero primo maggiore di 3 e 3''p'' è un numero perfetto totiente, allora p è esprimibile nella forma 4''n''+1, ovvero ''p'' ≡ 1 ([[Aritmetica modulare|modulo]] 4)<ref>{{cita conferenza|autore=Mohan A. L., Suryanarayana D.|titolo = Perfect totient numbers|conferenza = Number theory|città=Mysore|anno=1982|pagine = 101–105|editore = Lecture Notes in Mathematics, vol. 938, Springer-Verlag|url=http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2051959}}</ref>; in più, ''n'' è anch'esso un numero perfetto totiente. Quindi, con ''n'' perfetto totiente e 4''n''+1 primo, anche 3·(4''n''+1)=12''n''+3 è perfetto totiente. Questo concatena i numeri di questo tipo in qualcosa di simile a una [[catena di Cunningham|catena di Cunningham generalizzata]]<ref>{{en}} John Smith, [http://planetmath.org/encyclopedia/ExampleOfPerfectTotientNumber.html Example of perfect totient number] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080430085034/http://planetmath.org/encyclopedia/ExampleOfPerfectTotientNumber.html |date=30 aprile 2008 }} su [[PlanetMath]].</ref>. <br/>
Se 9''p'' (=3²''p'') è un numero perfetto totiente, allora p è sempre un numero primo<ref name="Iannucci">{{Cita pubblicazione|autore=Iannucci, Douglas E., Deng, Moujie, Cohen, Graeme L.|titolo=On perfect totient numbers|rivista=Journal of Integer Sequences|volume=6|numero=4|anno=2003|url=http://www.emis.de/journals/JIS/VOL6/Cohen2/cohen50.pdf|accesso=18 agosto 2012|dataarchivio=12 agosto 2017|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20170812121811/http://www.emis.de/journals/JIS/VOL6/Cohen2/cohen50.pdf|urlmorto=sì}}</ref>. Non si sa se ci siano numeri perfetti totienti nella forma 3<sup>''m''</sup>p, dove p è un numero primo maggiore di 3 e ''m'' > 3<ref name="Iannucci"/>.
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